Alle Lösungen der Gleichung in Bogenmaß. Bsp. 6(sin x)^2 + 5 cos x = 7

Question

ich soll die folgenden zwei Aufgaben lösen:

Bestimmen Sie im Bogenmaß alle Lösungen der Gleichung 6(sin x)^2 + 5 cos x = 7
im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π

Bestimmen Sie im Bogenmaß alle Lösungen der Gleichung 6(cos x)^2 − 5 cos x = −1
im Bereich 0 ≤ x ≤ 2π

Wie geh ich da vor? soll ich zuerst die Gleichungen lösen und die Ergebnisse dann in Bogenmaß umrechnen? Wenn ja, Wie löse ich die Gleichungen so dass ich alle Lösungen erhalte?

LG

EDIT: Fehlende Hochstellung des Exponenten korrigiert. 

Answer 1

6·COS(x)^2 - 5·COS(x) = -1

Substitution: z = COS(x)

6·z^2 - 5·z = -1

6·z^2 - 5·z + 1 = 0

z = 1/3 ∨ z = 1/2

Resubstitution x = ± ACOS(z)

x = ACOS(1/3)

x = 2·pi - ACOS(1/3)

x = ACOS(1/2)

x = 2·pi - ACOS(1/2)

Comments

woher kommt das 2*pi?

---

2*pi ist die periodenlänge der cosinusfunktion.

Skizziere dir mal die Kosinusfunktion. Jetzt versuchst du herauszufinden wo im Intervall von 0 bis 2*pi die Funktion den Wert 0.5 annimmt. Du kannst beide Werte nachezu am Graphen ablesen.

Beim Berechnen wird es schwieriger. Die Umkehrfunktion liefert nur einen Wert. Nun solltest du anhand des Graphen erklären können wie man auf den zweiten wert kommt.

---

ok, mit Graphen kann ich es ablesen, dass die beiden Werte im Bereich von -2pi und +2pi sein müssen. aber trotzdem versteh ich nicht, wieso 2pi-acos(x)? Da erhalte ich ja quasi den Rest, der zwischen dem Punkt acos(x) und 2pi überbleibt oder?

Wie rechnet man das erste Beispiel? ich hab schon mal für sin(x)² = 1-cos(2x)/2 eingesetzt, komm jetzt aber nicht mehr weiter.

---

Im Graphen solltest du sehen können das folgendes gilt:

COS(x) = 2*pi - COS(x)

Bei der zweiten Aufgabe solltest du es eventuell mit 

SIN(x)^2 = 1 - COS(x)^2

----------

6·SIN(x)^2 + 5·COS(x) = 7

6·(1 - COS(x)^2) + 5·COS(x) = 7

6 - 6·COS(x)^2 + 5·COS(x) = 7

6 - 6·z^2 + 5·z = 7

6·z^2 - 5·z + 1 = 0

Ich glaube die Gleichung kommt dir jetzt bekannt vor oder?

Answer 2

" Wie rechnet man das erste Beispiel? ich hab schon mal für sin(x)² = 1-cos(2x)/2 eingesetzt, komm jetzt aber nicht mehr weiter. "

Versuche es mal mit sin^2(x) = 1-cos^2(x). D.h. zuerst sin(x) isolieren und Gleichung quadrieren. 

Dann kommst du auf eine quadratische Gleichung, wo du cos(x) = u substituieren kannst. Weg wie bei der Lösung von Mathecoach für 2. 

Comments

ich hab jetzt sin(x) auf eine seite gebracht:

sin(x)=wurzel ( (7-5*cos(x))/6 )

und jetzt setzt ich einfach für "sin (x)" "1-cos²(x)" ein?

---

Ich sehe gerade, dass du ja sin^2(x) in der Gleichung hast.

Die Wurzel ist daher überflüssig und du kannst eigentlich direkt zu Beginn bei sin^2(x) den Term 1 - cos^2(x) einsetzen. 

 6(sin x)^2 + 5 cos x = 7 

 6( 1 - cos^2(x))  + 5 cos x = 7 

6 - 6 cos^2(x) + 5cos(x) = 7

0 = 6 cos^2(x) - 5cos(x) + 1 

0 = 6 u^2 - 5u + 1      | quadratische Gleichung! Formel oder faktorisieren:

0 = ( 1 - 3u)(1-2u) 

u1 = 1/3

u2 = 1/2 

..... 

---

ah super danke!!!
Kannst du mir die andere Frage mit pi auch noch bitte erklären?

---

Erinnere dich an die Definition von Sinus und Cosinus im Einheitskreis. 

Diese Symmetrien, Periodizitäten, ... nutzt man, um alle Lösungen von goniometrischen Gleichungen zu bestimmen. 

Zur Repetition: 

https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

---

Noch nie etwas davon gehört...

---

Ok. Dann kannst du im verlinkten Video etwas lernen. 

---

leider keine Zeit mehr, abgabe ist um 17:00Uhr

---

Automatisch rechnen lassen / kontrollieren kannst du dir das hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=6(sin+(x))%5E2+%2B+5+cos+x+%3D+7

Hier kannst du alle Resultate zwischen 0 und 2π rauslesen.

x1= 1/3 π       | n=0 in der 4. Zeile 

x2= 1/3 (6π - π) = 2π - 1/3 π = 5π/3    | n=1 in der 3. Zeile

Achtung: Es gibt wohl 4 Lösungen zwischen 0 und 2π. 

---

danke aber ich muss das auch erklären können und da hilft ausrechnen lassen nichts.

---

mit arccos kommst du auf 2 Winkel. z.B. π/3

Achtung: Es gibt wohl 4 Lösungen zwischen 0 und 2π. 

---

Danke für die Mühe, habs mir heute angschaut und verstanden, danke danke danke :)