Kontraposition A, B Mengen

Question

Wir sollen diese Aufgabe durch Kontraposition lösen, haben aber leider gar keinen Ansatz dafür..
Aus (A\B)∪(B\A) = A∪B folgt  A∩B = ∅

Answer 1

Aus (A\B)∪(B\A) = A∪B folgt  A∩B = ∅Sei also   (A\B)∪(B\A) = A∪B     #

und  angenommen, es gäbe ein Element x in A∩Balso   x ∈ A   und   x ∈ B.    ##Dann ist jedenfalls auch   x ∈  A∪B also wegen # auch

x ∈    (A\B)∪(B\A)    

⇒   x ∈   A\B)          oder   x ∈   B\A

⇒   ( x ∈   A   und  x ∉ B )          oder   (   x ∈   B   und  x ∉  A  )  beides steht im Widerspruch zu   ##

Also gibt es kein x mit   ##, also ist    A∩B = ∅.

Answer 2

Kontraposition ist "Aus  A∩B ≠ ∅ folgt (A\B)∪(B\A) ≠ A∪B".

Ansatz ist also "Sei A∩B ≠ ∅". Ein solcher Ansatz schreit förmlich nach einem anschließenden "Sei m ∈ A∩B".

Offensichtlich ist dann m ∈ A∪B. Um (A\B)∪(B\A) ≠ A∪B zu zeigen genügt es also, zu begründen warum m ∉ (A\B)∪(B\A) ist.