Lokale Änderungsrate - Gleichung f(x)=0,1x^2

Question

Ich bins wieder. :)

Es geht um einen Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x)=0,1x^2

Die momentane Änderungsrate an der Stelle x=5 hat den Wert 2,5.

Es gibt schon zig Fragen zum gleichen Thema aber leider raff ichs einfach nicht. Unser Lehrer hat uns ein Erklärungsblatt gegeben wo die Formel auch drinnsteht.

lim f(x+(dreieck)x)-f(x) / (dreieck)x
Tut mir leid für die schrecklich lessbare Formel.

Was ich bis jetzt gemacht habe, was aber sicherlich falsch ist, weil immer 1 rauskommt.

0,1*5^2=2,5. Jetzt halt einsetzen.
2,5+5-2,5 / 5 = 1

Was mach ich falsch? :S

Comments

Die Funktion f mit der Gleichung f(x)=0,1x² hat an der Stelle x=5 hat den Wert 2,5.

Dann ist die Änderungsrate an der Stelle x=5   lim (für Δx gegen ∞) von (f(x+Δx)-f(x))/Δx

 Nach Einsetzen ( f(5+Δx)-f(5)) / Δx oder (0,1·(5+Δx)² - 0,1·(5)²)/Δx =  (0,1·(25+10Δx+Δx²) - 0,1·25)/Δx =

(2,5+1,0Δx+0,1Δx² - 2,5)/Δx =(Δx(1+0,1Δx))/Δx =1+0.1Δx und für Δx=0 ist das genau 1.

Dann ist 1 die Änderungsrate an der Stelle x=5.

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(2,5+1,0Δx+0,1Δx² - 2,5)/Δx =(Δx(1+0,1Δx))/Δx

Diesen Schritt versteh ich nicht ganz. Ok, die 2,5 streich ich weg. Dann bleibt aber 1Δx+0,1Δx²/Δx, oder?

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EDIT: Habs jetzt glaub ich kapiert. Man entnimmt es also von Δx^². Ich werd gleich noch zwei Beispiele reinstellen mit x and der Stelle 2 und 6, um zu sehen ob ichs wirklich kann :) Danke dir Roland

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x=2

f(2+Δx)-f(2) / Δx ->0,1(2+Δx)²-0,1(2)² / Δx -> 0,1(4+4Δx+Δx²)-0,1*4 / Δx
0,4+0,4Δx+0,1Δx²-0,4 / Δx - > Δx(0,4*0,1Δx) / Δx
0,4+0,1Δx -> x=0,4


x=6

f(6+Δx)-f(6) / Δx - > 0,1(6+Δx)²-0,1(6)² / Δx -> 0,1(36+12Δx+Δx²)-0,1*36 / Δx
3,6+1,2Δx+0,1Δx²-3,6 / Δx -> Δx(1,2+0,1Δx) / Δx
1,2+0,1Δx -> x=1,2

Die momentane Änderungsrate an der Stelle x=2 ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x=6.
Nein, da 0,4 nicht größer als 1,2 ist.

Passts?

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Na prima! Geht doch.

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Sehr gut. Ich stell die nächste Frage gleich hier rein weils noch zum gleichen Aufgabenbeispiel gehört. Ist aber zum Glück das letzte :)

Die Steigung der Sekante durch die Punkte A=(3|f(3)) und B=(6|f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x=3.

Momentane Änderungsrate an der Stelle x=3 -> x=0,6

Steigung der Sekante. y=mx+b
A) 3=3m+b -> b=3-3m
B) 6=6m+b

6=6m-3m+3 -> 3=3m -> 1=m
y=1x+0


Antwort: Steigung der Sekante ist größer als die momentane Änderungsrate, da 1>0,6.

Richtig?

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Die Sekantensteigung ergibt sich, nachdem f(3) = 0,9 und f(6) = 3,6 ausgerechnet wurden. Dann gilt m = (f(6)-f(3))/(6-3) oder m = (3,6 - 0,9)/3 = 0,9. Nun ist 0,9>0,6. Also, die Steigung der Sekante ist tatsächlich größer als die momentane Änderungsrate.

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Wie bist du auf f(3) = 0,9 und f(6) = 3,6 gekommen?

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Ich bin davon ausgegangen, dass es immer noch um die Funktionsgleichung f(x)=0,1x² geht. Ich setze 3 ein und erhalte f(3)=0,1·3² = 0,1·9 = 0,9. Dann setze ich 6 ein und erhalte f(6)=0,1·6² = 0,1·36 = 3,6.

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Genau, es geht immer noch um f(x)=0,1x². Wofür giltet dann die Formel y=mx+b?
Dachte mit der Rechne ich es aus :S

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Die Formel y=mx+b würde man verwenden, wenn es um die vollständige Geradengleichung ginge. Es geht aber nur um die Steigung der Geraden. Dafür genügt der Differenzenquotient.

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Verstanden. Dankeschön