Normalverteilung Beispiele (Unklarheiten)

Question

Ich habe zwei Normalverteilung Beispiele bei denen ich Probleme habe.

1)

Die Lebensdauer eines Ersatzteils ist normalverteilt, mit μ = 180 Tage und σ = 40 Tage. Bei wieviel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom Ewartungswert ab?

Hier hätte ich P(X< μ-180) gerechnet, leider komme ich damit nicht auf das gewünschte Ergebnis.

2)

Die Äpfel in einer Lieferung wiegen durchschnittlich 180 g, mit einer Standardabweichung von 50 g. Man kann annehmen, dass das Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Wieviel Prozent der Äpfel wiegen

a) weniger als 150 g   b) mehr als 175 g   c) zwischen 200 und 250 g?

10% der Äpfel aus Bsp. 3 werden aussortiert, weil sie zu leicht sind. Wie schwer kann ein Apfel höchstens sein, wenn er aussortiert wird?

In welchem symmetrischen Bereich [μ-ε, μ+ε] liegen die Gewichte von 50% aller Äpfel? (Quartile)

Hier habe ich a) b) und c) bereits lösen können, leider bereiten mir die letzen zwei Fragen Schwierigkeiten.

Answer 1

Die Lebensdauer eines Ersatzteils ist normalverteilt, mit μ = 180 Tage und σ = 40 Tage. Bei wieviel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom Ewartungswert ab? 

2 * Φ(30/40) - 1 = 0.5467 = 54.67%

Comments

Die Äpfel in einer Lieferung wiegen durchschnittlich 180 g, mit einer Standardabweichung von 50 g. Man kann annehmen, dass das Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Wieviel Prozent der Äpfel wiegen

a) weniger als 150 g   

Φ((150 - 180)/50) = 0.2743

b) mehr als 175 g   

1 - Φ((175 - 180)/50) = 0.5398

c) zwischen 200 und 250 g?

Φ((250 - 180)/50) - Φ((200 - 180)/50) = 0.2638

---

In welchem symmetrischen Bereich [μ-ε, μ+ε] liegen die Gewichte von 50% aller Äpfel? (Quartile)

Φ(k) = 0.5 + 0.5/2 --> k = 0.6744897365

[180 - 0.6745*50, 180 + 0.6745*50] = [146.3, 213.7]

---

10% der Äpfel aus Bsp. 3 werden aussortiert, weil sie zu leicht sind. Wie schwer kann ein Apfel höchstens sein, wenn er aussortiert wird?  

Ich weiß nicht genau was hier Beispiel 3 sein soll. Und was damit gemeint ist.

---

Danke für deine Hilfe. Ich hätte noch gerne kurz gewusst was dieses zeichen in diesem zusammenhang beseutet Φ? 

Das war ein tippfehler meinte Beispiel 2 damit meine ich das vorige Beispiel mit den Äpfeln

---

Mit Φ ist hier die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gemeint.

10% der Äpfel aus Bsp. 2 werden aussortiert, weil sie zu leicht sind. Wie schwer kann ein Apfel höchstens sein, wenn er aussortiert wird? 

Φ((x - 180)/50) = 0.1 --> x = 115.9 g

---

Hätte noch zwei Fragen :

Bei Beispiel 1 verstehe ich denn Sinn hinter diese Formel nicht 2 * Φ(30/40) - 1 = 0.5467 = 54.67%. Wieso wird mal 2 gemacht und wieso 30 und dann noch minus 1.

Bei Beispiel 2 verstehe ich nicht wie man auf das k kommt. Bei mir kommt 0,75 heraus.

---

Bei Beispiel 1 zum Beispiel hätte ich 180- 30 gemacht. Weil da steht das 1 monat vom erwartungswert abgezogen werden.

---

Es gilt die Formel

P(a <= X <= b) = Φ((b - μ)/σ) - Φ((a - μ)/σ)

Also bei 1

P(180-30 <= X <= 180+30) = P(150 <= X <= 210) = Φ((210 - 180)/40) - Φ((150 - 180)/40) = Φ(30/40) - Φ(-30/40) = Φ(30/40) - (1 - Φ(30/40)) = Φ(30/40) - 1 + Φ(30/40) = 2 * Φ(30/40) - 1

Wobei man jetzt auch sagen könnte weniger als 1 monat sind eventuell auch nur 29 Tage. Und weil die Tage diskret sind dann mit 29.5 rechnen.

Man kann auch im Mittel mit 365 / 12 = 30.42 Tagen pro Monat rechnen. Das sind aber denke ich Feinheiten und als Abschätzung kann man ruhig erstmal so rechnen wie ich es gemacht habe.

---

Φ(k) = 0.5 + 0.5/2

Φ(k) = 0.75

nicht das k ist 0.75 sondern die Verteilungsfunktion wird 0.75. Da ist jetzt im Tabellenwerk nachzuschlagen für welches k das der Fall ist.

---

Danke für die Erklärung aber bei Φ(k) = 0.75 ist in der Tabelle 0,77337 und nicht 0.6744897365? 

---

Dann hast du dich eventuell verlesen. Also bitte nochmals sorgfältig kontrollieren. Mein PC meint das seien k = 0.6744897365 und mein PC irrt sich da sehr selten.