Question

Zeigen Sie: Sind f : A → B und g : B → C injektive Funktionen, so ist auch die Verknüfpung g ◦ f injektiv. 

Comments

Das wäre super :-)

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Ne kein Plan wie ich das beweisen soll

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Was ist denn die Definition von "injektiv"?

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Zu jedem Element aus B gibt es höchstens ein Element aus A.

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Dass f und g injektiv sind heißt, dass gilt:

Aus \(f(x)=f(y)\) folgt \(x=y\) und aus \(g(a)=g(b)\) folgt \(a=b\). Angenommen,

$$(g\circ f) (x) = (g\circ f) (y).$$

Dann musst du zeigen, dass \(x = y\) folgt.

Answer 1

Zeige also \((g\circ f) (x) = (g\circ f) (y).\)

==>  \(x = y\)

etwa so: \((g\circ f) (x) = (g\circ f) (y).\)

==>    \(g(f (x)) = g( f (y))\)

==>  f(x) = f(y) , weil g injektiv.

==>    x = y , weil f injektiv.   q.e.d.