Beweis: n! <= ((n+1)/2)^n

Question

Zeigen Sie, dass für alle n element N gilt:


n! <= ((n+1)/2)^n

Answer 1

Hi,
der Induktionsanfang für \( n = 0 \) ist klar. Also muss gezeigt werden, dass
$$ (n+1)! \le \left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1} $$ gilt. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt
$$ n(+1)! \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n} (n+1) $$ Die rechte Seite ist kleiner als \( \left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1} \) wenn $$ 2 \le \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} $$ gilt. Die rechte Seite ist monoton steigeng und konvergiert gegen \( e \). D.h die rechte Seite nimmt ihren kleinsten Wert für \( n = 0 \) an und der ist \(2 \), also ist alles bewiesen.

Comments

Kannst du mal kurz erklären, warum der Grenzwert gegen unendlich e ist?

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Hi, siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Answer 2

Zeige dass 1! ≤ ((1+1)/2)¹ ist.

Zeige dass wenn n! ≤ ((n+1)/2)ⁿ ist, auch (n+1)! ≤ (((n+1)+1)/2)ⁿ⁺¹ ist.

Comments

Ja den Induktionsanfang und die Induktionsbehauptung habe ich auch schon aufgestellt aber ab dem Schritt komm ich nicht mehr weiter.