Man muss hier die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation nachprüfen:
$$a)\ (x,x) \in R \Rightarrow (x,x) \in R\circ R$$ $$b)\ (x,y) \in R\circ R \Leftrightarrow (y,x) \in R \circ R$$ $$c)\ ((x,y) \in R \circ R \wedge (y,z) \in R\circ R) \Rightarrow (x,z) \in R\circ R$$.
a) Sei (x,x) in R. Dann ist (x,x) auch in R o R, da für z=x (z,x) in R und (x,z) in R.
b) Sei (x,y) in R o R. Dann gibt es ein z, sodass (x,z) in R und (z,y) in R. Weil aber R schon eine Äquivalenzrelation ist, kann man genausogut sagen, (z,x) in R und (y,z) in R, aber das heißt, dass (y,x) in R o R ist.
c) Hier nenne ich das z in der Mengendefinition s für das Paar (x,y) und t für das Paar (y,z).
Seien (x,y), (y,z) in R o R. Dann gibt es ein s und ein t, sodass (x,s) in R, (s,y) in R, (y,t) in R und (t,z) in R. Da aber R eine Äquivalenzrelation ist, gilt: $$x\sim s\sim y\sim t\sim z \Rightarrow x\sim z,$$ oder genauer: Aus (x,s) und (s,y) in R folgt, dass (x,y) in R, aus (x,y) und (y,t) in R folgt (x,t) in R und aus (x,t) in R und (t,z) in R folgt (x,z) in R o R.
