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Sei (G,•) eine Gruppe und sei

R := {(a, b) ∈ G × G | Es existiert ein g ∈ G mit der Eigenschaft

b = g−1• a • g}.


(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist!
(b) Schreiben Sie K(1G) explizit hin, mit Begründung.

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Reflexivität: Verwende für g das neutrale Element.

Symmetrie:

b = g−1• a • g      | Beide Seiten von links mit g multiplizieren


g • b = e • a • g   | Beide Seiten von rechts mit g-1 multiplizieren

g • b • g-1 = e •  a • e = a

Jetzt benennen wir mal g in h-1 und g-1 in h um, somit existiert ein Element h mit

a = h−1• b • h 

Transitivität:

Aus b = g−1• a • g   und c = h−1• b • h folgt durch einsetzen

c = h−1• g−1• a • g • h

Knackpunkt:  Ist h−1• g−1 das Inverse von g• h ??

Die Antwort darauf lautet ja, denn  h−1• g−1 • g • h kann man von Innen her auflösen zu h−1• e • h = h−1•  h = e.

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