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kann mir vielleicht jemand helfen?
Ich bekomme bei meinen Versuchen immer heraus, dass es sich NICHT um das gleiche handelt.

von
Wenn Du an der Berichtigung Deiner Versuche interessiert bist, musst Du sie mitteilen.

3 Antworten

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Wir zeigen mal das es für n = 1 gilt:

(1 bis 1) (k^3) = 1^2·(1 + 1)^2/4 = 1

Ich denke das ist so ok.

Als nächstes müsste man zeigen das es für n+1 gilt unter der Voraussetzung das es für n gilt.

∑ (1 bis n+1) (k^3) = ∑ (1 bis n) (k^3) + (n + 1)^3 = n^2·(n + 1)^2/4 + (n + 1)^3

n^2·(n + 1)^2/4 + (n + 1)^3 = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)^2/4

n^2·(n + 1)^2 + 4(n + 1)^3 = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)^2

(n + 1)^2·(n^2 + 4·(n + 1)) = (n + 1)^2·(n + 2)^2

(n + 1)^2·(n^2 + 4·n + 4) = (n + 1)^2·(n + 2)^2

(n + 1)^2·(n + 2)^2 = (n + 1)^2·(n + 2)^2

Die beiden Ausdrücke sind gleich also ist es gezeigt.

von 294 k

n2·(n + 1)2/4 + (n + 1)3 ab hier verstehe ich nicht, wie Sie auf diesen Umformung kommen 

n2·(n + 1)2/4 + (n + 1)3 = (n + 1)2·((n + 1) + 1)2/4

können Sie mir bitte erklären, wie es geht?

Das würde ich auch gerne wissen.
Warum der Bruch 1/4 aufeinmal so komsich wurde.

Statt 1/4 x zu schreiben schreibt ein Mathematiker auch oft x/4. Einfach um sich die 1 zu sparen. Wenn du es aufschreibst kannst du aber gerne den Faktor 1/4 ganz nach vorne ziehen.

Bei der ersten Frage ersetzt man das n durch n+1 in der Annahme

∑ (1 bis n) (k^3) = 1/4·n^2·(n + 1)^2

∑ (1 bis n+1) (k^3) = 1/4·(n+1)^2·((n+1) + 1)^2

Wobei ich dann die Summe in zwei Summanden aufteile

∑ (1 bis n) (k^3) + (n+1)^3 = 1/4·(n+1)^2·((n+1) + 1)^2

Kurze Frage: warum wird aus dem + plötzlich ein • ? In der 4. Zeile

Ich weiß nicht genau welche Zeile du meinst. Schreibe mal bitte die zwei Zeilen hin, deren Übergang du nicht verstehst.

Meinst du den Übergang

n2·(n + 1)2 + 4(n + 1)3 

nach

(n + 1)2·(n2 + 4·(n + 1))

Klammer mal mit dem Distributivgesetz in der ersten Zeile (n + 1)^2 aus. Dann sollte das klar sein. 

Alternativ kannst du auch mal die untere Zeile ausmultiplizieren. 


0 Daumen

Induktionsanfang ist klar.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n > 0, für das die Behauptung gilt.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist  ∑k=1,...,n+1 k3= (1/4)·(n + 1)2·(n + 2)2.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
k=1,...,n+1 k3 = (1/4)·n2·(n + 1)2 + (n + 1)3
=(1/4)·(n + 1)2·(n2 + 4·n + 4) = (1/4)·(n + 1)2·(n + 2)2.
 

von
0 Daumen
I.A.: n=1: 1^3 = 1 = 1/4 * 1 * 4
I.S.: n=n+1: S_(k=1) bis (n+1) k^3 = S_(k=1) bis (n) k^3 + (n+1)^3 = 1/4 n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 =
So jetzt forme um (ausklammer usw.) . Dann kommst du auf das Ergebnis, alles klar?


gruß...
von 4,8 k

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