Gauß-Algorithmus, Lösungsmenge

Question

ich bin hier gerade an meinen Übungsaufgaben für die Uni am verzweifeln. An sich finde ich den Gauß-Algorithmus gar nicht schwer und eigentlich leicht verständlich, allerdings tauchen je länger ich vor den Aufgaben sitze immer mehr Fragen auf:

1)  Ich habe ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten gegeben und soll sagen ob die Läsungsmenge jeweils leer (nicht lösbar), ein Punkt (null Parameter), eine Gerade (ein Parameter) oder eine Ebene (zwei Parameter) ist, ohne L zu berechnen.  Bsp: I. x+2y+z=8; II. 2x+2y+z=9; III. 2x+y+0,5z=5 -> kann ich das irgendwo ablesen, oder muss ich das Gleichungssystem dazu erst in Trapez-/Stufenform bringen? Dann habe ich aber doch immer als Lösung einen Punkt, oder?!

2) Gegeben ist ein Gleichungssystem mit I. x₁+2x₂+x₃+x₄=-2; II. 2x₁+4x₂+3x₃+5x₄=6; III. -x₁-2x₂+3x₃+3x₄=14  Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit dem Gauß-Algorithmus. --> Das kann ich doch gar nicht in die Stufenform bringen, weil die Koeffizienten vor x₁und x₂ jeweils Vielfache voneinander sind, oder? Wie löse ich das dann mit dem Gauß-Algorithmus?

3) Ausgehend von E₂, welche der folgenden Matrizen kann man mit (beliebig vielen) elementaren Zeilenumformungen erhalten?

Da komme ich irgendwie auf gar kein Ergebnis, wie kann ich denn E₂ so umformen, dass überall verschiedene Zahlen stehen?!

:)

LG meghan16

Answer 1

> kann ich das irgendwo ablesen

Ja, an der Stufenform.

> Dann habe ich aber doch immer als Lösung einen Punkt, oder?!

Nein, das LGS I. x+2y+z=8; II. 2x+2y+z=9; III. 2x+y+0,5z=5 hat immer eine leere Lösungsmenge, egal wie oft du es löst.

> Das kann ich doch gar nicht in die Stufenform bringen, weil die Koeffizienten vor x₁und x₂ jeweils Vielfache voneinander sind, oder?

Stufenform bedeutet: Die Anzahl der Nullen, mit denen eine Zeile anfängt, wird von Zeile zu Zeile größer (außer bei Nullzeilen). Das ist eine Form, die immer hergestellt werden kann.

Ein Anfang wäre, zur dritten Zeile die erste zu addieren und von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile zu subtrahieren.

> wie kann ich denn E₂ so umformen, dass überall verschiedene Zahlen stehen?!

    Addiere zur ersten Zeile das doppelte der zweiten.

    Subtrahiere von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile.

Diese Umformungen kannst du auch wieder rückgängig machen:

    Addiere zur zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile.

    Subtrahiere zur ersten Zeile das doppelte der zweiten.

Finde heraus wie B nach E₂ umgeformt werden kann. Wende dann die umgekehrten Operationen in umgekehrter Reihenfolge an um E₂ nach B umzuformen.