Könnte es sein, dass H eine Untergruppe ist, aber das neutrale Element von H ein anderes als das von G ist?
Nein, vorausgesetzt, dass H eine Untergruppe von G ist.
Wie kann ich das beweisen?
Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe und ist a ∈ G ein Element, für das a ◦ a = a gilt, so ist a das neutrale Element von G.
Zeigen Sie: Ist H eine Untergruppe von G, so ist das neutrale Element von H das gleiche wie das neutrale Element von G.
Für Halbgruppen wäre die obige Behauptung falsch: Betrachten Sie N als Halbgruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung. Geben Sie eine Teilmenge H ⊂ N an, die eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, so dass das neutrale Element von H aber nicht das selbe ist wie das von N. (Geben Sie die beiden neutralen Elemente an.) (Zur Erinnerung: Wir fassen 0 als natürliche Zahl auf, d. h. N = {0, 1, 2, . . . })
Das wurde uns als Hilfestellung gegeben.
1) aa=a → a-1aa=a-1a ↔ (a-1a)a=e ↔ ea=e ↔ a=e → Behauptung mit e∈G als neutrales Element
2) Folgt direkt aus der Definition einer Gruppen, denn dort wird der Allquantor benutzt und das neutrale Element ist eindeutig.
1) habe ich jetzt verstanden ;-)
Jetzt habe ich nur noch eine Frage zu 2):
Was ist ein Allquantor?
Allquantor: ∀
Gilt eine Aussage ∀x∈G, so gilt sie automatisch auch für jede Teilmenge, das heißt, dass sich die Eigenschaft auf Teilemengen ''vererbt‘‘
Was muss ich jetzt für 3) machen?
Geben Sie eine Teilmenge H ⊂ N an, die eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, so dass das neutrale Element von H aber nicht das selbe ist wie das von N.
Betrachte dafür einfach mal die natürlichen Zahlen und konstruiere dir ein einfaches Beispiel.
Stehe irgendwie auf dem Schlauch :-(
