Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation beweisen

Question

Es soll folgende Äquivalenzrelation auf RxR bewiesen werden:

(x_1, x₂) ~ (y₁, y₂) :⇔ x₁² + x₂² = y₁² + y₂²

Symmetrie:

(x_1, x₂) ~ (y₁, y₂) ⇔ x₁² + x₂² = y₁² + y₂²  ⇔ y₁² + y₂² = x₁² + x₂² ⇔ (y₁, y₂) ~ (x_1, x₂)

Transitivität:

(x_1, x₂) ~ (y₁, y₂) ∧ (y₁, y₂) ~ (z₁, z₂)

x₁² + x₂² =  y₁² + y₂² ∧  y₁² + y₂² = z₁² + z₂²

x₁² + x₂² + y₁² + y₂² = y₁² + y₂² + z₁² + z₂²

x₁² + x₂² =  z₁² + z₂² ⇒ (x_1, x₂) ~ (z₁, z₂)

Reflexivität:

Versteh nicht, wie ich das beweisen soll =(

Außerdem soll gezeigt werden, dass es sich bei

a ~ b :⇔ ∃k ∈ ℕ ∪ {0} : a(2k +1) = b  als Relation auf ℕ ∪ {0}

um eine Ordnungsrelation (gegebenenfalls vollständige Ordnungsrelation handelt)

Comments

Wegen der Äquivalenzrelation siehe hier:

https://www.mathelounge.de/391712/aquivalenzrelation-la-x1-y1-∼-x2-y2-⇔-x1-2-y1-2-x2-2-y2-2

Das wurde dort schön beantwortet =)

Answer 1

das habe ich bereits unter

www.mathelounge.de/391712

beantwortet.

Grüße,

M.B.