diskutieren Sie die Funktion

Question

K₁:y=-1/4x⁴+x³

Zeichnen und Beschreibung dessen Verlauf im Intervall [-2;4,5] (Nullstelle, Extremstelle, Wendepunkt)

Zeichnen kann ich aber weiß nicht wie ich davongehen soll. Kann mir wer vielleicht behilflich sein.

Danke

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = x^3 - 1/4·x^4

f'(x) = 3·x^2 - x^3

f''(x) = 6·x - 3·x^2

f'''(x) = 6 - 6·x

Symmetrie

Keine untersuchte

Verhalten im Unendlichen

Verläuft vom III. in den IV. Quadranten

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

x^3 - 1/4·x^4 = 1/4·x^3·(4 - x) = 0

x = 0 (dreifache Nullstelle) --> Sattelpunkt SP(0 | 0)

x = 4

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 - x^3 = x^2·(3 - x) = 0

x = 0 (doppelte Nullstelle) --> den Sattelpunkt kennen wir bereits.

x = 3 (aufgrund des Verlaufs im Unendlichen ein Hochpunkt)

f(3) = 6.75 --> HP(3 | 6.75)

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x - 3·x^2 = x·(6 - 3·x) = 0

x = 0 --> den Sattelpunkt kennen wir bereits.

x = 2

f(2) = 4 --> WP(2 | 4)

Answer 2

Hallo Nazdanaa,

y = -1/4 x⁴ + x³  = -1/4 * x³ * ( x - 1)  

x=1 ist eine einfache Nullstelle

x = 0  ist deine dreifache Nullstelle  

           →  Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente)   W(0|0)

y ' = - x³ + 3x² = - x² * ( x - 3)   hat bei

x=3  eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + → -    →  Hochpunkt 

Jetzt musst du nur noch die x=3 in die Funktion einsetzen, dann hast du die y-Koordinate des Hochpunkts

Gruß Wolfgang