Bestimmen Sie alle k-linearen Abb. von K -> K

Question

Hallo habe folgende Aufgabe, bei der ich keinen Ansatz finde:

Sei K ein Körper. Bestimmen Sie alle K-linearen Abbildungen

φ: K → K

(Hinweis: Betrachten Sie das Bild von 1 ∈ K unter φ und zeigen Sie, dass φ damit bestimmt ist.)

Das Bild von 1 unter φ ist doch:

φ(1) = 1

Doch was nützt mir das? Hat jemand eine Idee und kann mir den Ansatz verraten?

Comments

Hahaha, du sitzt also auch gerade an LinA Blatt 3? Wo bist du? Bin auffer Brücke :-D

Answer 1

Das Bild von 1 unter φ ist doch:

φ(1) = 1

Das stimmt nicht:   Etwa  f :  IR → IR  mit  f(x) = 2x

ist eine IR-lineare Abbildung ; denn f ( c*x) = 2(c*x) = c*2x = c*f(x) .

und additiv ist es auch.

Du sollst wohl zeigen:   Durch  f(1) ist die Abbildung eind. bestimmt.

Denn:   für alle x aus K gilt  f(x) = f(x*1) = x*f(1) .

also ist die Abbildung  f : K ---> K ;  f(x) = x*f(1) .

Comments

Okay das klingt logisch. Doch was soll mir der Hinweis sagen?

(Hinweis: Betrachten Sie das Bild von 1 ∈ K unter φ und zeigen Sie, dass φ damit bestimmt ist.)

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Das gleiche wie meine Bemerkung:

  Durch  f(1) ist die Abbildung eind. bestimmt.