Lineare Abbildung mit r phi und sin/cos

Question

Hallo alle!

Folgende Aufgabe:

Gegeben die Abbildung φ ∈ ℝ die Abbildung r_φ : ℝ² → ℝ² gegeben durch(Es steht in so einem deutsch geschrieben):

r_φ(x,y) := ((cos(φ)*x) + (-sin(φ)*y)) , ((sin(φ)*x) + (cos(φ)*y)) für (x,y) ∈ ℝ²

Nun soll diese Funktion interpretiert werden, und gezeigt werden, dass sie eine lineare Abbildung ist. Ich sehe weder eine Spiegelung, noch eine Matrix, mit der ich die beiden überführen kann.

Answer 1

Die Matrix ist

cos(φ)    - sin(φ)  
sin(φ)      cos (φ)  

wenn du die mal Vektor 

x
y

nimmst, hast du genau deine Zeile.

Comments

Super Danke für die Antwort.

Wie beweist man in einem solchen Fall, dass es eine lineare Abbildung ist?

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Eigenschaften

additiv und homogen prüfen, also

f( x+y) = f(x) + f(y)   und

f(c*x) = c*f(x)  

für x,y aus V (hier   ℝ² )  und c aus K ( hier  ℝ )