Injektiv oder Surjektiv? f: R\{3}→R, f(x)=(x-1)/(3-x)

Question

ich soll überprüfen ob die folgende Funktion surjektiv oder injektiv ist:

 f: R\{3}→R, f(x)=(x-1)/(3-x)

Könnt ihr mir dabei helfen??

Answer 1

 

f(x) = (x-1) / (3-x)  ;  D_f = ℝ \ {3} 

Zu zeigen:  a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) für alle a,b ∈ ℝ

gleichwertige Kontraposition:   f(a) =  f(b) ⇒ a = b  für alle a,b ∈ ℝ: 

f(a) = f(b)  

⇔ (a - 1) / (3 - a) =  (a -1) / (3 - b)  

⇒  (a - 1) * (3 - b)  =  (b -1) * (3 - a) 

⇒  3·a + b = a + 3·b

⇒  3a - a = 3b - b

⇒  2a = 2b 

 ⇒  a = b 

f ist also injektiv

-1 hat kein Urbild bzgl. f:

 (a - 1) / (3 - a) = -1 

  a  - 1 = - 3 + a 

die Gleichung ist nicht erfüllbar

f ist also nicht surjektiv

Gruß Wolfgang