beweis, dass es sich um einen Körper handelt. K:={ a + b√2 | a,b € Q} mit üblichen * und +.

Question

 Komme bei der Aufgabe nicht so recht weiter: Kenne zwar die Ring und Körperaxiome, weiß aber nicht wie ich diese in diesem Beispiel anwenden soll...

Comments

Analoge Frage mit √3  hier: https://www.mathelounge.de/169777/korperaxiome-zeige-menge-zahlen-ublichen-einen-korper-bildet

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 Brauch Hilfe beim Beweis, dass es sich um einen Körper handelt

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Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/395869/beweis-dass-es-sich-einen-korper-handelt-b%E2%88%9A2-mit-ublichen-und

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Zeigen Sie: Die Menge K := {a + b√2|a,b ∈ ℚ}⊂ℝ mit der üblichen Addition und Multiplikation ist ein Korper.

Genauer:

(a) Machen Sie eine Liste der Dinge, die dazu gepruft werden mussen.

(b) Welche Eintrage Ihrer Liste folgen direkt daraus, dass R ein Ring ist? (Zu diesen Eintragen brauchen sie nichts weiter zu schreiben.)

Die liste ist fertig aber mit der b komm ich nicht klar,was wollen die da von mir ?

Answer 1

mach mal erst a)  . das müsste irgendwo in deinen Unterlagen stehen:  Körperaxiome

b) Vergleiche mit den Ringaxiomen, da bleibt nicht mehr viel übrig, nämlich:

(i) Es muss bzgl. der Multiplikation ein neutrales Element geben

und

(ii)  Jedes Element ≠ 0 muss ein multiplikatives Inverses besitzen.

Das zu zeigen ist nicht schwer:(i)   n = 1+ 0√2   ist das neut. El;  denn (rechne es nach) es gilt

(1+ 0√2 )*(a+b√2 ) = a+b√2  und

(a+b√2)   * (1+0√2 )  =   a+b√2.

(ii) zu den Inversen hattest du den Tipp.

         Das Inverse zu a+b√2  ist natürlich  1 / (a+b√2)  und du musst  nur zeigen,

dass sich das auch in der Form c + d√2  mit c, d aus Q schreiben lässt.

Dazu erweitern mit   a-b√2 . Das ist nicht 0, weil sonst  a = b√2

im Widerspruch zu rat. Zahl * irration. Zahl ist immer irrational, also


  1 / (a+b√2) =  ( a-b√2 ) / ( (a+b√2) * (a-b√2) ) 

=   ( a-b√2 ) / (a²  -2b²   )  =  a / (a²  -2b²  )  -  ( b /  (a²  -2b²  ) ) *√2

Bingo!

Answer 2

Mache eine Liste der Dinge, die gepruft werden mussen um zu zeigen, dass K ein Ring ist. Streiche aus der (a)-Liste alles, was auf dieser neuen Liste steht.