Bestimmen Sie in der GAUSSschen Zahlenebene alle Zahlen mit Re((z+1)/(z-1))≥1

Question

$$Re\left( \frac { z+1 }{ z-1 }  \right) \ge 1$$

Re((z+1)/(z-1))≥1

Answer 1

schreibt man für z=a+ib, dann erhält man: $$ Re \left(\frac{a+1+ib}{a-1+ib} \right) = Re \left( \frac{(a+1+ib)(a-1-ib)}{(a-1)^2+b^2} \right) = \frac{a^2-1+b^2}{(a-1)^2+b^2}  $$ einsetzen in die Ungleichung ergibt $$ a^2-1+b^2 \geq (a-1)^2+b^2 $$ $$ -1 \geq -2a+1 $$ $$ a \geq 1 $$ d.h. die Ungleichung wird von allen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene erfüllt, die sich auf oder rechts von der Parallelen zur Imaginären Achse, die durch den Punkt 1 geht, befinden.

Gruß Werner