0 Daumen
568 Aufrufe

Für einen Ring R mit Eins wird die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente mit R× notiert.

Es sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass $$ { K\left[ X \right]  }^{ \times  }={ K }^{ \times  } $$ gilt.

von

2 Antworten

0 Daumen

Offensichtlich ist K× ⊂ K[X]×.

Seien p,q ∈ K[X]× Polynome vom Grad gp bzw. gq. Dann hat p·q den Grad gp + gq.

Das neutrale Element in K[X] ist das konstante Polynom k(X) = 1. Es hat den Grad 0.

Wegen gp, gq ∈ ℕ ist gp + gq = 0 ⇔ gp = gq = 0, also gilt p·q=1 ⇒ p, q ∈ K× und somit K[X]× ⊂ K×.

von 76 k 🚀

 Vielen Dank für Ihre Hilfe. Aber könnten Sie mir diese Satz erklären " Wegen gp, gq ∈ ℕ ist gp + gq = 0 " ? 

Kann gp und gq nicht <> 0  sein?

> Kann gp und gq nicht <> 0  sein?

Addiere zwei natürlich Zahlen, so dass die Summe 0 ist. Welche Zahlen hast du addiert?

Hallo oswald,

Warum ist K× ⊂ K[X]× offensichtlich? 

Vielen Dank für die Antworten soweit.

Hallo Fragensteller,

\( K^\times \subset K[X]^\times \) ist nicht nur nicht offensichtlich, sondern ganz einfach falsch.

\( K^\times \) sind Elemente eines (nicht genauer angegebenen) Körpers.

\( K[X]^\times \) sind Polynome über einen (nicht genauer angegebenen) Körper.

Das eine kann niemals Teilmenge des anderen sein.

Grüße,

M.B.

Dann schicke ich einen Isomorphismus vorbei. Der vermöbelt den Körper so, dass er glaubt, Teilmenge eine Polynomrings zu sein.

damit ist das eine immer noch keine Teilmenge, sondern höchstens isomorph zu einer anderen Teilmenge.

Grüße,

M.B.

0 Daumen

die Frage wurde unter

www.mathelounge.de/399141

bereits gestellt und auch beantwortet.

Grüße,

M.B.

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community