Funktionenschar drei Aufgaben mit verschiedenen Anwendungen

Question

folgende Fragen zu folgenden Aufgaben:

Aufgabe 1:   fk(x)=x^2+kx+k     K€R

a) Berechne die Nullstellen
So wie ich das verstanden habe sollte es hier drei Fälle geben.
1. Beide Faktoren positiv
2. Beide Faktoren negaiv
3. Keine Nullstelle

Wie berechne ich dies?

b) Berechne Extrema
fk'(x) = 2x+k
fk''(x)= 2

fk'(x) = 2x+k = 0|-k
         2x   = -k|:2
          x   = -k/2

f''(x)=2>0 TP

Y-Wert: -k^2/2+k*(-k/2)+k
       =-k^2/2-k^2/2+k = -k^2/4+k

Tiefpunkt bei (-k/2 | -k^2/4+k)


Aufgabe 2:    fk(x)=-kx^2+4x     K€R

a) Berechne die Nullstellen
Verhält sich genau so wie bei Aufgabe 1?

b) Berechne Extrema
fk(x)=-kx^2+4x
fk'(x)=-2kx+4
f''(x)=-2k

f'(x)=-2kx+4=0|-4
       -2kx = -4 |:(-2k)
           x=2/k

f''(x)=-2k<0 HP

f(x)=-k*2^2/k+4*2/k
    =-k*4/k^2+8/k
    =-4k/k+8/k (Kürzen)
    =-4/k

Hochpunkt bei (2/k | 4/k)


Aufgabe 3:    fk(x)=-kx^3+x^2    K€R

a) Berechne Nullstellen, Wendepunkte und Extrema

Nullstellen? (wie bei Aufgabe 1 und 2)?
Wendepunkte?

Extrema (Unvollständig bzw. vermutlich falsch)
fk(x)=-kx^3+x^2
fk'(x)=-3kx^2+2x
fk''(x)=-6kx+2

f'(x)= -3kx^2+2x (x kürzen, dann |-2)
     = -3kx = -2 |:(-3k)
          x=-2/3k

Y-Wert: f(x)=-k*(-2/3k)^3+(-2/3k)^2 ?

b) Für Welchen Wert k hat die Funktion fk(x) an der Stelle x=100 eine Nullstelle?

c) Welcher von allen Extrempunkten hat vom Punkt P(0/2) minimalen Abstand?
(Tipp: Man kann den Abstand zwischen zwei Punkten P1(x1/y1) und P2(x2/y2) den Satz des Pythagoras errechnen.
Es gibt d=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 wobei d der Abstand zwischen den beiden Punkten ist.)


Ich bedanke mich wirklich herzlich für für nachvollziehbare und detaillierte Lösungen. 

Und hoffe, dass es in Ordnung ist weitere Fragen zu Scharfunktionen hier ins Thema zu packen.

MfG

Answer 1

Mal nur zur Aufgabe 1) Teil b) ist vollständig richtig. Nun zu a) die pq-Formel ergibt hier         x_1/2=-k/2±√(k²/4-k). Wenn jetzt k²/4-k=0 ist, dann gibt es genau eine Nullstelle. Das ist für k=0 und für k=4 der Fall. Wenn k²/4-k<0, dann gibt es keine reelle Nullstelle. Das ist für 0<k<4 der Fall. In allen anderen Fällen gibt es zwei Nullstellen.

Comments

Die PQ-Formel ist doch x1/2= -p/2 ± √(p/2)^2-q      wie kommt man auf (k^2/4-k) ?

Ich hätte jetzt mit ausklammern x(x+k)+k=0 gesagt wobei x1=k x2=0 wäre.

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p und q sind beide gleich k. Setze in die pq-Formel für p=k und für q=k.. Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen.

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Alles klar! Jetzt habe ich das soweit verstanden. Die einzigste Frage die mir zu den Aufgaben bleibt wäre der Y-Wert vom Extrema der Aufgabe 3. Ich hätte als x-Wert 2/3k und als y-Wert (4/27k) raus, bin mir aber nicht sicher ob dies korrekt ist. :)

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Die Nullstellen der ersten Ableitung sind falsch. 0 = -3kx²+2x. Soweit richtig, aber man darf auf keinen Fall durch x teilen, sondern x muss man ausklammern 0 = x(-3kx+2). Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist, also x=0 oder -3kx+2=0 bzw. x=2/(3k).