Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn jemand eine Rückmeldung geben könnte, zu dem was ich gemacht habe:
Es sei: X: S2 - > R3 das Vektorfeld X(x,y,z) = (-y ,x ,0 ) Zeigen Sie, dass es keine glatte Funktion f:S2 -> R gibt, so das X= grad f.
Ich nehme also an, es gebe eine glatte Funktion, die nach R abbildet. Demnach versuche ich diese Funktion zu bilden:
Da die Funktion glatt ist, müsste grad (f) =
df/dx = -y
df/dy = x
df/dz = 0
Außerdem bildet die Funktion nach R ab, das heißt also, dass wir eine Komposition(Addition, Multiplikation...) unserer 3 Variablen haben.
=> Wir können versuchen die Ableitung "rückgängig zu machen"
df/dx = -y => Nach x aufleiten : -xy + C(y,z)
df/dy = x => Nach y aufleiten : xy+ C(x,z)
df/dz = 0 => Nach z aufleiten : 0 + C(x,y)
wobei C eine Funktion ist, die von den jeweiligen Variablen abhängt.
Jetzt gilt:
-xy + C(y,z) = xy+ C(x,z) =C(x,y)
Aus der letzten "Aufleitung" folgt, dass wir kein z in unserer Funktion f haben.
D.h. die Gleichung reduziert sich auf:
-xy + C(y) = xy+ C(x) | + xy
=> C(y) = 2xy + C(x)
=> C(y) - C(x) = 2xy
Und das ist ein Widerspruch.
Also kann es keine solche glatte Funktion geben.
Kann das soweit hinhauen?
