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Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn jemand eine Rückmeldung geben könnte, zu dem was ich gemacht habe:


Es sei: X: S2 - > R das Vektorfeld X(x,y,z) = (-y ,x ,0 ) Zeigen Sie, dass es keine glatte Funktion f:S2 -> R gibt, so das X= grad f.


Ich nehme also an, es gebe eine glatte Funktion, die nach R abbildet. Demnach versuche ich diese Funktion zu bilden:

Da die Funktion glatt ist, müsste grad (f) =

df/dx = -y

df/dy = x

df/dz  = 0

Außerdem bildet die Funktion nach R ab, das heißt also, dass wir eine Komposition(Addition, Multiplikation...) unserer 3 Variablen haben.

=> Wir können versuchen die Ableitung "rückgängig zu machen"

df/dx = -y   => Nach x aufleiten :  -xy + C(y,z)

df/dy = x     => Nach y aufleiten : xy+ C(x,z)

df/dz  = 0   => Nach z aufleiten : 0 + C(x,y)

wobei C eine Funktion ist, die von den jeweiligen Variablen abhängt.
Jetzt gilt:
-xy + C(y,z) = xy+ C(x,z) =C(x,y)

Aus der letzten "Aufleitung" folgt, dass wir kein z in unserer Funktion f haben.
D.h. die Gleichung reduziert sich auf:
-xy + C(y) = xy+ C(x)         | + xy

=> C(y) = 2xy + C(x)
=> C(y) - C(x) = 2xy

Und das ist ein Widerspruch.

Also kann es keine solche glatte Funktion geben.


Kann das soweit hinhauen?

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