Span Basis und Dimension. K1 := Span({ (1234)^T, (0102)^T, (1112)^T })

Question

K1 := Span({ (1234)^T, (0102)^T, (1112)^T })

Wie ermittle ich hier z.b eine Basis und Dimension?

Answer 1

Du hast bereits drei Erzeugende dieses Vektorraums gefunden: die drei Elemente, die \(K_1\) erzeugen. Damit musst du für eine Basis nur noch zeigen, dass die Elemente linear unabhängig sind, dass also für \(a,b,c\in \mathbb R\) oder was auch immer der Grundkörper ist, gilt:

$$a\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow a=b=c=0.$$

Falls die drei Elemente linear abhängig sind (löse das Gleichungssystem, um das herauszufinden), musst du eines der linear abhängigen Elemente streichen und mit den anderen beiden erneut probieren. Wenn z.B. herauskommen sollte, dass die obige Gleichung für \(8a=-13c\) erfüllt ist, musst du die erste oder dritte Spalte streichen, weil die beiden nicht linear unabhängig sind.

Wenn du die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren aus diesen drei gefunden hast (hier sind nur drei oder zwei möglich), dann hast du auch schon die Dimension von \(K_1\) bestimmt: Die Dimension ist die Anzahl der Basiselemente.

Comments

Wenn ich das System löse,

erhalte ich

a+c=0

b-c=0

Also ist es linear abhängig.

Wenn ich nun c streiche, wird das System linear unabhängig, richtig?

Wie bilde ich jetzt die Basis?

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Du hast vier Gleichungen, nicht nur zwei. Das System ist linear unabhängig.

Du kannst deine Lösung überprüfen, indem du z.B. c=1 wählst. Dann muss a=-1 und b=1 sein, damit deine Gleichungen stimmen. Aber diese lösen die obige Gleichung nicht:

$$-1\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\2\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+0+1\\-2+1+1\\-3+0+1\\-4+2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-2\\0\end{pmatrix}.$$

Es kommt nicht der Nullvektor heraus. Dadurch hast du schon ein Gegenbeispiel dafür, dass deine Lösung nicht stimmen kann. Es gilt sogar für jedes Vielfache \(c=r,a=-r,b=r\!:\)

$$-r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1+0+1\\-2+1+1\\-3+0+1\\-4+2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-2r\\0\end{pmatrix}.$$

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Ach Mist, habe einen Fehler in den LGS-Umformungen gemacht.

Jetzt erhalte ich a=0,b=0,c=0

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Super, damit ist die Aufgabe gelöst!

Du hast ja deine drei Vektoren, die ein Erzeugendensystem sind (wäre im Spann ein Vektor drin, der nicht von ihnen erzeugt wird, würde er die Definition des Spanns nicht erfüllen. Also könnte er nicht in der Menge liegen: Widerspruch!). Außerdem sind sie linear unabhängig. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Also sind deine drei Basiselemente gerade die drei Vektoren, die du auf lin. Unabhängigkeit überprüft hast.

Dimension ist dann gleich der Anzahl der Elemente der Basis.

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Also Basis B={(1234)^T,(0102)^T,(1112)^T}

Dimension ist 3!?

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Genau so ist es!

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"Wenn du die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren aus diesen drei gefunden hast (hier sind nur drei oder zwei möglich)"

Was meinst du mit drei oder zwei? 

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Das war eigentlich nur eine Nebenbemerkung, weil man Dimension 1 oder 0 ausschließen kann, ohne das Gleichungssystem lösen zu müssen:
Dimension 1 kann man ausschließen, weil der Spann dann eine Gerade durch Null wäre. Dafür müssten alle Vektoren oben Vielfache voneinander sein. Z.B. haben
$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\4\\6\\8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}10\\20\\30\\40\end{pmatrix}$$ Dimension eins. So ein Muster ist recht leicht zu erkennen.