Vollständige Induktion: Zeige Term ist Vielfaches von 7

Question

folgende Aufgabe:

29^n + 6^{2n-1}

dieser Ausdruck soll ein Vielfaches von 7 sein.

Beweis mit Vollständiger Induktion.

Answer 1

Behauptung A(n):    29ⁿ  + 6^2n-1 ist für alle n∈ℕ  ein Vielfaches von 7

A(1) ist wahr:  29¹ + 6^2-1 = 29 + 6 = 35 = 5 * 7

A(n) → A(n+1):

29ⁿ⁺¹ + 6^2·(n+1)-1 =   29ⁿ⁺¹ + 6²ⁿ⁺¹     =  29 *  29ⁿ + 6² * 6^2n-1 

                    =  29 *  29ⁿ + 36 * 6^2n-1   =   29 *  29ⁿ + 29 * 6^2n-1 + 7 *  6^2n-1 

                    =  29 * (  29ⁿ  + 6^2n-1) + 7 *  6^2n-1

                             Vielfaches von 7 ( = k * 7 , k∈ℤ)  nach Induktionsvoraussetzung  A(n)

                    =  7 * ( 29*k  +  6^2n-1 )   mit k∈ℤ

Gruß Wolfgang

Comments

Sehr schönes Beispiel gegen vollständige Induktion

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Genial, am Ende muss man es sich ja immer so basteln, dass man zu der Voraussetzung kommt, dass ist das schwere.

Answer 2

n=1  passt.

Ind.schluss

29ⁿ⁺¹ + 6^2(n+1)-1 

= 29*29ⁿ  + 6²ⁿ⁺¹     

= 29*29ⁿ  + 36*6^2n-1     

= (28+1)*29ⁿ  + (35+1)*6^2n-1     

= 28*29ⁿ  + 35*6^2n-1    +  (  29ⁿ + 6^2n-1  )

der erste Summand geht durch 7, weil 28 durch 7 geht

der 2. Summand geht durch 7, weil 35 durch 7 geht

der 3. nach Ind.vor.          q.e.d.