0/0 Grenzwertberechnung von Folge (Problem) Kein l'hospital darf benutzt werden...

Question

$$ \lim_{n\to\infty}\frac {16-(4-\frac { 1 }{ n^2 })^2 }{ 4-(2+\frac { 1 }{ n^2 })^2 }= \frac {\lim_{n\to\infty}16-(\lim_{n\to\infty}4-\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ n^2 })^2 }{ \lim_{n\to\infty}4-(\lim_{n\to\infty}2+\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ n^2 })^2}= \frac {16-4^2 }{ 4-2^2 }=\frac {0 }{ 0 } $$

Was macht man in einem solchen Fall, l'Hospital darf man noch nicht anwenden, wie lautet der Grenzwert bzw. existiert er?

Answer 1

Löse mal die Klammern auf, fasse zusammen  und erweitere anschließend mit n oder n² oder so.

Answer 2

16 - (4 - 1/n²)² = (8·n² - 1)/n⁴

4 - (2 + 1/n²)² = - (4·n² + 1)/n⁴

Damit ist

(16 - (4 - 1/n²)²) / (4 - (2 + 1/n²)²)

= (8·n² - 1)/n⁴ / (- (4·n² + 1)/n⁴)

= (8·n² - 1)/n⁴ * (- n⁴/(4·n² + 1))

= - (8·n² - 1)/(4·n² + 1)

= - (8 - 1/n²)/(4 + 1/n²)

für n --> ∞

= -2