Geben Sie für die folgenden Vektorräume eine Basis an: (x1,x2,x3,x4)∈R4 :x1 +3x2 +2x4 =0,2x1 +x2 +x3 =0}

Question

Ich brauche bitte die Vorgehensweise, wie ich eine Basis von einem Vektorraum bestimmen kann.

Geben Sie für die folgenden Vektorräume eine Basis an:

{(x1,x2,x3,x4)∈R4 :x1 +3x2 +2x4 =0,2x1 +x2 +x3 =0}

Answer 1

Hallo start,

> Geben Sie für die folgenden Vektorräume (?) eine Basis an: 

   U =  { (x1,x2,x3,x4)∈ ℝ⁴ : x1 + 3x2 + 2x4 = 0,2x1 +x2 + x3 = 0 } 

ich schreibe x,y,z,w statt der indizierten x: 

Bei zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten bleiben 2 Unbekannte (z.B. w und z) frei wählbar.

x + 3y + 2w = 0    I

0,2x + y + z = 0 | * 5

x + 5y + 5z = 0    II

II - I:   2y + 5z - 2w = 0   →  y = w - 5/2 z

y in I:   x + 3*( w - 5/2 z) + 2w = 0   →  x = 15/2 z - 5w

→  U = { (15/2 z - 5w | w - 5/2 z | z | w )∈ ℝ⁴ :  z,w ∈ ℝ } 

     U  =   {  z • (15/2 , -5/2 , 1 , 0) + w * ( -5 , 1 , 0 , 1 ) : z,w ∈ ℝ }

         =  < (15/2 , -5/2 , 1 , 0) , ( -5 , 1 , 0 , 1 ) >  

→ { (15/2 , -5/2 , 1 , 0) ; ( -5 , 1 , 0 , 1 ) } ist eine Basis von U

Gruß Wolfgang

Comments

Danke Wolfgang,

das kann ich alles nachvollziehen, aber braucht der ℝ⁴ nicht 4 linear unabhängige Vektoren als Basis?

Gruß start

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Für den Vektorraum ℝ⁴ ja.

Hier handelt es sich aber um einen Unterraum der Dimension 2 von ℝ⁴

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ok, und woran erkennt man das?

Gruß start

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An der Anzahl der frei wählbaren Variablen bei der Darstellung von U. Das ist dann auch die Anzahl der Basisvektoren.

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Wow Wolfgang, danke dir. Super Erklärung, einfach verständlich;-)