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Einer Halbkugel mit Radius r ist die volumsgrößte, quadratische Pyramide so einzuschreiben,

dass ihre Spitze im Mittelpunkt des Grundkreises der Halbkugel liegt.

Ges: Volumen der Pyramide
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Probier das zunächst mal selber.

Du lernst nichts, wenn wir die ganzen Rechnungen machen die du noch nicht mal verstehst. Dann schreibst du nur ab und verstehst nichts. Du solltest dich ran setzen und versuchen deine bisher gestellten aufgaben zu verstehen und anhand der Lösungstipps selber zu lösen.

Ein Tipp zu dieser Aufgabe. Der Ansatz ist fast wie bei der Kugel der ein Kegel Einbeschrieben wird. Nur das wir die Pyramidenspitze im Mittelpunkt der Kugel ansetzen.

Und dann nimmt man nicht die Volumenformel vom Kegel sondern von einer Pyramide.
Probier also gerne mal den Ansatz zunächst alleine. Eine Skizze dabei könnte dir helfen. Wenn du absolut nicht klar kommst, kann ich gerne helfen.
okay

ich mach das bsp morgen vormittag!

LG und DAnke

1 Antwort

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Vorbemerkung: Konstanten schreibe ich gerne als Großbuchstaben, das betrifft hier den als konstant zu betrachtenden Radius der Halbkugel, den ich daher im folgenden mit dem Großbuchstaben R bezeichne.

Zu maximieren ist also das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit dem Grundflächeninhalt g und der Höhe h. 
Für das Volumen einer solchen Pyramide gilt:

V ( g, h ) = (1 / 3 ) * g * h

Da die Grundfläche G ein Quadrat mit der Seitenlänge a ist, kann man auch schreiben: 

V ( a, h ) = ( 1 / 3 ) * a ² * h

Die Seitenlänge a des Quadrates hängt aufgrund der Aufgabenstellung von der Höhe h der Pyramide ab, denn die Ecken des Quadrates müssen auf der Oberfläche der Halbkugel mit dem Radius R liegen. Das aber bedeutet, dass die halbe Diagonale des Quadrates gleich dem Radius rB des Breitenkreises dieser Halbkugel in der Höhe h über deren Grundkreis sein muss.
Dieser Radius rB wiederum hängt von der Höhe h der Pyramide ab, es gilt nach Pythagoras (Skizze!):

rB 2 ( h ) + h 2 = R 2

<=> rB 2 ( h ) = R 2 - h 2

Ebenfalls nach Pythagoras gilt für die Seitenlänge a eines Quadrates, dessen halbe Diagonale d bekannt ist:

a 2 = d + d 2 = 2 d 2

Vorliegend ist d = r B ( h ) = R 2 - h 2 , also gilt:

a 2 = 2 * r B 2 ( h ) = 2 * ( R 2 - h 2 )

Den Ausdruck 2 * ( R 2 - h 2 ) setzt man nun für a 2 in die oben fett gesetzte Formel V ( a, h ) ein und erhält:

V ( h ) = ( 1 / 3 ) * 2 * ( R 2 - h 2 ) * h

<=> V = ( 2 / 3 ) * R 2 * h - ( 2 / 3 ) * h 3

also einen Ausdruck für das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Höhe h, die einer Halbkugel mit dem Radius R so einbeschrieben ist, dass ihre Spitze in der Mitte des Grundkreises der Halbkugel und ihre vier anderen Ecken in der Höhe h auf der Oberfläche der Halbkugel liegen.

Dieses Volumen V ( h ) soll nun maximiert werden, es soll also derjenige Wert von h bestimmt werden, für den V ( h ) ein Maximum annimmt. Also leitet man V ( h ) nach h ab:

V ' ( h ) = ( 2 / 3 ) * R 2 - 2 * h 2

und setzt diesen Ausdruck gleich Null:

( 2 / 3 ) * R 2 - 2 * h 2 = 0

<=> R 2 / 3 = h 2

<=> h = R / √ 3

Höchstens an dieser Stelle h kann ein Extremwert vorliegen. Da die zweite Ableitung

V ' ' ( h ) = - 4 h

ist und diese für alle positiven Werte von h negativ ist, liegt an der Stelle h = R / √ 3 tatsächlich ein Maximum von V ( h ) vor. Der Wert dieses Maximums, also das maximale Volumen einer Pyramide mit den beschriebenen Eigenschaften, erhält man durch Einsetzen in die zweite, fett gesetzte Formel:

V = ( 2 / 3 ) * R 2 * ( R / √ 3 ) - ( 2 / 3 ) * ( R / √ 3 ) 3 = ... = 4 * R 3 / ( 9 * √ 3 )

Avatar von 32 k

super gute Erklärung!!

könntest du mir vl nur in langsamen schritten die Volumsgleichung erklären ,also das endergebnis 4*R3/ (9* wurzel3)

 

in langsamer Schreibweise danke dir

Hast du es selber mal versucht?

(  2 / 3 ) * R 2 * ( R / √ 3 ) - ( 2 / 3 ) * ( R / √ 3 ) 3

Erst einmal alles ausmultiplizieren:

= ( 2 / 3 ) * ( R 3 / √ 3 ) - ( 2 / 3 ) * R 3  /  (√ 3 ) 3

Nun den Ausdruck ( 2 / 3 ) * ( R 3 / √ 3 ) ausklammern:

= ( 2 / 3 ) * ( R 3 / √ 3 ) * ( 1 - 1 / ( √ 3 ) 2 )

Wegen ( √ 3 ) 2  = 3 :

= ( 2 / 3 ) * ( R  3 / √ 3 ) * ( 1 - ( 1 / 3 ) )

Die hintere Klammer ausrechnen:

= ( 2 / 3 ) * ( R 3 / √ 3 ) * ( 2 / 3 )

ausmultiplizieren:

= ( 4 / 9 ) * R 3 / √ 3

und noch ein bisschen anders hinschreiben:

= 4 * R 3 / ( 9 * √ 3 )

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