Surjektivität eines Bruches beweisen

Question

ich weiß leider nicht, wie ich die Surjektivität von dieser Funktion beweisen soll:

M =[0, ∞) 

f: M->M

f(x) = x² / (x+1)

Könnte mir bitte jemand behilflich sein? Danke.

Answer 1

Du musst zeigen, dass es zu jedem y∈M (mindestens) ein x∈M gibt mit f(x) = y :

Sei also y∈M

y = x² / (x+1)

y * (x+1) = x² 

y*x + y = x²

x² - y*x - y = 0

pq-Formel  →  x₁ = (y - √(y·(y + 4))) / 2   ;   x₂ = (√(y·(y + 4)) + y) / 2

[ Wegen y≥0 sind die Radikanden unter den Wurzeln ≥ 0 ]

Gruß Wolfgang 

Answer 2

eine Möglichkeit ist es umzuformen:

$$ f(x)=\frac { x^2 }{ x+1 }=\frac { (x+1)^2-2x-1 }{ x+1 }=x+1-\frac { 2x+1 }{ x+1 }\\=x+1-\frac { x+1+x+1-1 }{ x+1 }=x+1-1-1+\frac { 1 }{ x+1 }\\=x-1+\frac { 1 }{ x+1 }\\x-1+\frac { 1 }{ x+1 }>x-1 \to \infty\\f(0)=0\\f'(x)=1-\frac { 1 }{ (x+1)^2 }>=0\\->f(x) \in [0,\infty) $$