Vektoren mit Variablen auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

Hallo wie oben schon beschrieben würde ich gern wissen, wie ich zum Beispiel aus den Vektoren

v₁=(0,1,x) v₂=(x,0,3) und v₃=(2,2,0) mit v₁,v₂,v₃ ∈ ℝ³

eine Teilmenge bestimmen kann die max. lin. unabhängig ist. Des weiteren würde ich gern wissen, wie man im Allgemeinen eine solche Teilmenge zu einer Basis von V ergänzt.

Answer 1

Hallo tilschweiger,    (siehst du wirklich so gut aus? :-))

du kannst die Determinante der Matrix ausrechnen, deren Spaltenvekoren die drei gegebenen Vektoren sind.

[ z.B. mit der Sarrusregel ]

det(M) = det \(\begin{pmatrix} 0&x&2\\ 1&0&2\\ x&3&0\end{pmatrix}\)  

=  0*0*0 + x*2*x + 2*1*3 - x*0*2 - 3*2*0 - 0*1*x =  2·x² + 6 ≠ 0 

→  die Vektoren sind für alle x linear unabhängig

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,                       ( na klar ;) )                                                                   danke für die Antwort, "→  die Vektoren sind für alle x linear unabhängig"  könntest du das noch einmal näher erläutern? Wenn ich diese Matrix nach dem Gauß-Verfahren lösen würde, woran würde ich dann erkennen, dass die Vektoren immer lin. unabhängig sind? 
Vielen Dank

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Habe die Antwort noch etwas ergänzt.

Die Matrix hat nach Gauß keine Nullzeile, also den Rang 3.

Die Determinante einer Matrix ist genau dann  ≠ 0  ( 2·x² + 6 ≠ 0 für alle x!) 

wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Für eine Info für die Berechnung der Determinante musst du nur  Sarrusregel anklicken.