wie findet man heraus ob ein Punkt in einem Körper liegt?

Question

Also meine fragte lautet, wie kann man rechnerisch beweisen, dass ein Punkte in einem Körper liegt?

Am Beispiel einer Pyramide mit den Ecken A(3,0,0); B(0,12,0); C(0,0,6) D(0,0,0).  Der zu überprüfende Punkt lautet Q(1,2,2)

Mein Ansatz wäre eine Gerade mit den Punkten Q und D aufzustellen und dann den Schnittpunkt mit der Ebene zu berechnen (1.2,2.4,2.4) aber das wars auch schon:(

Kann mir hier jemand weiterhelfen und bitte mit Erklärung für nicht Mathematiker :)

Lg Sophie

Answer 1

Eine systematische Lösung geht z.B. so:

1) Schreibe Ebenengleichungen für alle Seiten auf (Normalenform: \((\vec{x}-\vec{p}_i)\cdot\vec{n}_i=0\)).

2) Bestimme einen Punkt \(\vec{q}\), der im Koerper liegt, z.B. den Schwerpunkt. Justiere damit das Vorzeichen der Normalen \(\vec{n}_i\) so, dass \((\vec{q}-\vec{p}_i)\cdot\vec{n}_i>0\) ist. Die Normalen auf den Seiten zeigen dann alle in das innere des Koerpers.

3) Um dann zu testen, ob ein Punkt \(\vec{r}\) im Inneren liegt, setzt Du ihn ebenfalls in alle Ebenengleichungen ein. Es muss dazu wieder \((\vec{r}-\vec{p}_i)\cdot\vec{n}_i>0\) für alle \(i\) sein.