Findet man zu einem Kreis k und einem Punkt P, zwei Kreise, die durch P gehen, aber k nicht schneiden?

Question

ich habe folgende Aufgabe, die mir sehr schwer fällt allgemein zu beweisen.

Man hat einen Kreis k mit Mittelpunkt auf der x- Achse und einen Punkt P gegeben, der nicht auf dem Kreis liegt. Ist es möglich allgemein zu zeigen, dass es mindestens zwei weitere Kreise gibt, dessen Mittelpunkte ebenfalls auf der x- Achse liegen und den Punkt P beinhalten, aber den Kreis k nicht schneiden?

Anschaulich ist das klar, aber ich komme nicht darauf, wie ich das allgemein zeigen kann.

Über eure Hilfe oder einer Idee würde ich mich sehr freuen.

Liebe Grüße

Answer 1

wenn die einzige Bedingung ist, dass P nicht auf k liegt (also innerhalb oder außerhalb), dann kannst

du doch unendlich Kreise konstruieren, die P beinhalten aber k nicht schneiden (dafür aber beinhalten, wenn P "schlecht" liegt). Gibt es noch weitere Einschränkungen?

Comments

genau. es gibt unendlich viele. Das ist mir soweit klar, aber ich soll das allgemein zeigen, dass das für eine Kreisgleichung y=Wurzel(r^2-(x-x_M)^2) und P(a/b) gilt. Das fällt mir schwer, weil ich keinen Anfang finde. Wie ist es zu zeigen, dass es unendlich viele Mittelpunkte x_M gibt für Kreise durch P, diese aber den Kreis k nicht schneiden. Geht das überhaupt?

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Jetzt bin ich leicht verwirrt Es ist schon ein Unterschied, ob die Kreise P beinhalten, oder ob P auf diesen Kreisen liegt. Wenn P auf diesen Kreisen liegen soll, dann gibt es schon eine Einschränkung für die Mittelpunkte dieser Kreise. Liegt wahrscheinlich am Wort beinhalten

für mich bedeutet, dass geometrisch gesehen, dass P innerhalb des Kreises liegt.

Wenn du aber als Kreis nur die Punkte auf dem Kreis betrachtest dann bedeutet beinhalten natürlich, dass P auf dem Kreis liegt. ^^ Sag mir bitte wie du es meinst.

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achso. Also dann habe ich mich oben falsch ausgedrückt. Ich meinte, dass der Punkt P auf der Kreislinie liegen soll und nicht innerhalb des Kreises. Entschuldige bitte.

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Hey mein Vorschlag ist ein wenig rechenaufwendig aber vielleicht hilft er dir ja:

Wir nehmen folgendes: Kreis K hat den Mittelpunkt (xK/0) und radius rK.

P liegt nicht auf dem Kreis und hat die Koordinaten P(a/b).

Betrachte nun ein beliebigen Kreis M mit Mittelpunkt (xM/0) und da P auf M liegt, hat er den Radius

R^2 = (xM-a)^2+b^2

Wann schneiden sich die beiden Kreise?

Wenn wir die Kreisgleichungen gleich setzen erhalten wir

$$ R^2 - (x-x_M)^2  = r_k^2 - (x-x_K)^2 $$

Stelle diese Gleichung nach 0 um, so dass du auf die Form

$$ x^2+px+q = 0 $$ kommst wobei in p und q die Parameter $$x_M, x_k, r_k ,a ,b $$ vorkommen.

Die pq-Formel sagt uns, dass diese Gleichung keine Lösung hat (das bedeutet die Kreise schneiden sich nicht) wenn

$$ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q < 0 $$

Löse diese Ungleichung nach xM auf und du erhältst den Bereich der x-Achse auf dem die Mittelpunkte der Kreise liegen, die durch P gehen und K nicht schneiden.

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Hallo Yakyu,

danke erst mal für deine Bemühung. Du hast mir auf jeden Fall schon mal weiter geholfen.

Aber sag mal bitte: das x^2 fällt doch bei der Gleichsetzung weg, sodass man gar keine quadratische Form bekommt, oder habe ich mich verrechnet?

Liebe Grüße

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Hi, ja stimmt, da passiert nix mehr mit quadratischen Gleichungen.

Wenn ich richtig umgeformt habe (ich hab den Ursprung auf den Kreismittelpunkt von K gelegt (also xk = 0).

$$ x = \frac{r^2-(a^2+b^2)}{2(x_M-a)} $$

Wenn x jetzt folgende Bedingung erfüllt, dann schneiden sich die Kreise nicht

$$ |x| > r $$, und somit $$| \frac{r^2-(a^2+b^2)}{2(x_M-a)}| > r $$. Mit Fallunterscheidung arbeiten und xM bestimmen, aber vorsicht. Ich habe das nicht zu Ende gerechnet, es könnte aber gut möglich sein, dass

es auch Punkte P gibt, so dass du nur einen einzigen Kreis hast der durch P geht und nicht K schneidet, nämlich den Kreis mit dem selben Mittelpunkt wie K.