Abbildung von einer Ebene auf eine Ursprungsgerade in einen Punkt

Question

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meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Ebene E: 2x + 3y - 2z = 6 bei der senkrechten Projektion in die Ursprungsgerade g: x = s* (2  3 -  2) (transponiert) auf einen Punkt abgebildet wird.

Ich hätte jetzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt und der Wert der da raus kämme, würde dann in die Geradengleichung eingesetzt werden, um an den Punkt zu kommen.

Also :

2 * (2s) + 3 * (3s) - 2 * (- 2s) = 6        => s = 6/17              P = ( 12/17 | 18/17 | -12/17 )

Wäre dieser Ansatz so richtig bzw. reicht das schon, oder bin ich auf dem falschen Dampfer?

Answer 1

Das ist der Punkt, auf den alles abgebildet wird. Da hast du recht.

Aber vermutlich sollst du ja noch zeigen, dass jeder Punkt von E diesen

Punkt P auch wirklich als Bild hat.  

Das ist aber auch kein Problem, denn du musst ja nur zeigen, dass das Lot

von einem Punkt x der Ebene auf die Gerade g, diese wirklich in P trifft.

Dazu betrachtest du X = ( x,y,z) mit   2x + 3y - 2z = 6

also  ( x  , y  ,  x+1,5y - 3 )   und verbindest den mit P also

Vektor PX =   ( x  , y  ,  x+1,5y - 3 )^T   -   ( 12/17 | 18/17 | -12/17 )^T

=  ( x - 12/17 | y - 18/17 |  x+1,5y - 3  + 12/17 )^T

=( x - 12/17 | y - 18/17 |  x+1,5y - 39/17 )^T

Und wenn es stimmt, muss PX senkrecht auf (2  3 -  2)^T     

Und das Skalarprodukt ist wirklich 0.  Passt also.