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Hi,

ist   ∀x∃xQ(x) ≡ ∃xQ(x) ?

von

Schlag nach: Gebundene und freie Variablen.

Hab ich gemacht, dann ist ∀x∃xQ(x) ≡ xQ(x) , weil das x vom Existenzquantor immer gleich dem Allquantor-x ist?

2 Antworten

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∀x∃xQ(x) ist nicht äquivalent zu  ∃xQ(x)

Die rechte Seite gilt, wenn ein Element existiert, das Q erfüllt.

Die linke Seite gilt, wenn jedes Element die Formel ∃xQ(x) erfüllt.

Angenommen es gibt kein Element. Dann erfüllen alle Elemente die Formel ∃xQ(x), aber es gibt kein Element, das Q erfüllt.

> weil das x vom Existenzquantor immer gleich dem Allquantor-x ist?

Nein. Das x vom Existenzquantor ist immer gleich dem Allquantor-x. Das liegt daran, dass es der selbe Buchstabe ist. Aber:

Es gibt eine Zahl die durch zwei teilbar ist. Nämlich die 4. So ist die rechte Seite zu verstehen.

Gilt das denn für jede Zahl? Ja, für jede Zahl gibt es eine Zahl die durch zwei teilbar ist.
Für die 1 ist zum Beispiel die 4 durch zwei teilbar. Für die 2 ist zum Beispiel die 4 durch zwei teilbar. Für die 3 ist zum Beispiel die 975310 durch zwei teilbar. ... Und so ist die linke Seite zu verstehen.

von 40 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Habes jetzt verstanden, außer

>"Angenommen es gibt kein Element. Dann erfüllen alle Elemente die Formel ∃xQ(x), aber es gibt kein Element, das Q erfüllt."

Wie kann ein Element ∃xQ(x) erfüllen, wenn es keins gibt? Oder meinten Sie das im Zusammenhang mit dem Allquantor: Da es kein Element gibt wird das nach dem ∀x stehende gar nicht erst "betreten"? 

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∀x∃xQ(x) ≡ ∀x(∃xQ(x)) (Rechtsklammerung!)

Das x ist in ∃xQ(x) gebunden. ∃xQ(x) ist "zu", das ist eine Aussage (wahr oder falsch) und keine Aussageform mit freier Variable x mehr. Deshalb kann man ueber x auch nicht mehr quantifizieren. Und wenn man es doch tut, aendert es an der Sache nichts, denn ∃xQ(x) haengt nicht von x ab.

Beispiel: ∀x "2 ist ungerade" ≡ "2 ist ungerade"

Entsprechend:  ∀x∃xQ(x) ≡ ∃xQ(x)

von

ahh, danke. Die Klammerung machts deutlich. Es wird also ∃xQ(x) ausgewertet und wenn das true ist resultiert das in: ∀x true ?

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