Gebrochenrationale Funktionen. Verhalten in Definitionslücken und Asymptotik

Question

Ich Verstehe nicht so richtig wie ich die aufgaben lösen soll,Danke

Bitte um Hilfe

Answer 1

"Ich verstehe nicht so richtig wie ich die aufgaben lösen soll,"

1. Bestimme die Nullstellen des Nenners (das sind die Definitionslücken) und faktorisiere die Nenner (Binomische Formeln ... anwenden).

2. Untersuche, ob man kürzen kann. (Zähler faktorisieren).

3. a) Nullstellen des Nenners nach dem Kürzen, sind Polstellen der Funktion.

b) Definitionslücken, die du rausgekürzt hast, sind sog. (stetig) "hebbare" Definitionslücken. Da hat man einfach ein (beinahe unsichtbares) Loch im Graphen. 

Anmerkung: d) Funktion hat übrigens keine Definitionslücken, da 3 + ..^2 immer ≥ 3 und nie 0. 

Answer 2

Lu hat das schon sehr schön beschrieben. Ich erläutere das nochmal am Beispiel                    c) f(x)=(x²-1)/(x⁴-2x²+1): Der Zähler (x²-1) lässt sich mit Hilfe der 3. binomischen Formel zerlegen in (x+1)(x-1). Der Nenner lässt sich zunächst mit Hilfe der 2. binomischen Formel zerlegen (x²-1)² und dann mit Hilfe der 3. binomischen Formel [(x+1)(x-1)]². Definitionslücken sind x=1 und x=-1. Nach dem Kürzen hat der Funktionsterm diese Form 1/(x²-1) oder        1/[(x+1)(x-1)]. Die Definitionslücken sind also immer noch dieselben. Und sie sind trotz kürzens nicht hebbar geworden.