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Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel und mit Vorzeichenwechsel.

Beispiel:

Die Funktion k mit k(x)= x^2- 4 /(x-2)^2 hat bei x0=2 eine Definitionslücke. Hier hat der Zähler die Nulstelle x0=2. Durch die Umformung des Funktionsterms erhält man für x nicht 2. Nach dem Satz hat k daher bei x0=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Warum hat allerdings dann die Funktion x^2-4/ x-2 eine Definitionslücke und die obere Funktion nicht?

Danke im Voraus für eure Hilfe:)

von

Wie heißt die Funktion ?

k ( x ) = x^2- 4 / ( x-2 )^2
k ( x ) = ( x^2- 4 ) / ( x-2 )^2
k ( x ) = x^2- ( 4 / x ) -  2 ^2
k ( x ) = x^2- ( 4 / x ) -  2 

Du solltest  einmal versuchen Klammerungen
richtig ( eindeutig ) zu setzen.

Bei deinen Funktionen fehlen Klammern, sonst ist dein Text

Die Funktion k mit k(x)= x^{2}- 4 /(x-2)^{2} hat bei x0=2 eine Definitionslücke. Hier hat der Zähler die Nulstelle x0=2. Durch die Umformung des Funktionsterms erhält man für x nicht 2. Nach dem Satz hat k daher bei x0=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Warum hat allerdings dann die Funktion x2-4/ x-2 eine Definitionslücke und die obere Funktion nicht?

an den farbigen Stellen falsch.

IMAG2608.jpg

Hier ist die Erklärung aus meinem Mathebuch. Ich verstehe nicht, warum bei dem zweiten Fall eine Polstelle sein muss, da doch eigentlich wie beim ersten Fall der Zähler 0 ergibt, da es doch keinen Unterschied zwischen dem Zähler im ersten und im zweiten Fall gibt oder? Und was ist damit gemeint, dass es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel sei?

2 Antworten

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falls ich es richtig gesehen habe

k(x) = (x²-4) /(x-2) ²   < umformen mit der 3.Bin.Form.

       = (x-2) (x+2)  /(x-2) ²

       =( x+2 )  /(x-2)                nicht def. bei  x= 2   da wird der Nenner 0

das zweite Beispiel:

hätte nach dem Umfomen   da stehen k(x) = x+2  und ist dann eine lineare Funktion

von 21 k
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Du hast 2 Funktionen
1.)
( x^2 - 4 ) / ( x-2 )
D = ℝ \ 2 ( Division durch 0 ausschließen )
[ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / ( x - 2 )
Nun lasse ich x gegen 2 gehen. Der Nenner ist noch
nicht null. Es kann noch gekürzt werden.
lim x −> 2  [ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / ( x - 2 ) = x + 2
lim x −> 2  = x + 2 = 4

2.)
( x^2 - 4 ) / ( x-2 )^2
D = ℝ \ 2 ( Division durch 0 ausschließen )
[ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / [ ( x - 2 ) * ( x -2 ) ]
Nun lasse ich x gegen 2 gehen. Der Nenner ist noch
nicht null. Es kann noch gekürzt werden.
lim x −> 2  [ ( x + 2 ) * ( x -2 ) ] / [ ( x - 2 ) * ( x - 2 ) ]
lim x −> 2  [ ( x + 2 )  /  ( x - 2 ) ] = 4 / 0
geht gegen unendlich
4 / 0.1 = 40
4 / 0.01 = 400
4 / 0.001 = 4000
usw
x = 2 ist eine sogenannte Polstelle

Soviel zunächst.

von 92 k 🚀

Danke schon mal! Muss ich jede gebrochenrationale Funktion immer umformen, damit ich die Definitionslücken bzw. Polstellen herausfinden kann?

D = ℝ \ 2

Das ist sinnlos.

Der Nenner ist noch
nicht null.

Der Nenner ist für kein Element der Definitionsmenge gleich Null.

@Tangente
Nein. Es gibt mehrere Nachweismethoden.
Falls dir bekannt
lim x −> 2 : ( x^2 - 4 ) / ( x-2 )  = 0 / 0
Ein Fall für ´Hospital
( x^2 - 4 ) ´ / ( x-2 ) ´ = 2x / 1
lim x −> 2 : 2x / 1 = 4

lim x −> 2  [ ( x + 2 )  /  ( x - 2 ) ] = 4 / 0
geht gegen unendlich
4 / 0.1 = 40
4 / 0.01 = 400
4 / 0.001 = 4000
usw


Das ist nur die halbe Wahrheit.

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