Gebrochenrationale Funktion y=x^3/ (x^2-x-6) hat W(0/0), sowie H(-3,36/-4,39). Berechne den fehlenden Tiefpunkt.

Question

Die Funktion y=x³/ (x²-x-6) hat einen Wendepunkt W(0/0), sowie den Hochpunkt H(-3,36/-4,39) Berechne den fehlenden Tiefpunkt ohne Überprüfung durch y´´. ermitle die senkrechten und die schräge Asymptote zeichne ihren Graph.

Bitte um Hilfe

Comments

@Fragesteller: Ich habe mal die fehlende Klammer um den Nenner ergänzt. Die musst du hier setzen wegen Punkt- vor Strichrechnung.

Es handelt sich nicht um ein Polynom sondern um eine sog. gebrochenrationale Funktion. Polynome besitzen weder senkrechte noch schräge Asymptoten.

Die Gleichung von schrägen und horizontalen Asymptoten berechnet man meist mit Hilfe einer Polynomdivision.

Zitat aus Kommentar von Mathecoach

y= (x³                  ) : (x² - x - 6)  =  x + 1   Rest  7x + 6    

Heisst

y= (x³                  ) : (x² - x - 6)  =  x + 1 + 1/( 7x + 6)    

Für x gegen unendlich verschwindet der 3. Summand und du hast 

y=1+x als schräge Asymptote.

Answer 1

f(x) = x^3/(x^2 - x - 6) = x^3/((x + 2)·(x - 3)) = x + 1 + (7·x + 6)/(x^2 - x - 6)

Senkrechte Asymptoten bei -2 und 3. 

Schräge Asymptote bei x + 1

f'(x) = x^2·(x^2 - 2·x - 18)/(x^2 - x - 6)^2 = 0

x^2·(x^2 - 2·x - 18) = 0
x = 1 - √19 ∨ x = √19 + 1 ∨ x = 0
x = 5.358898943 ∨ x = -3.358898943 ∨ x = 0

f(5.358898943) = 8.865526394 --> TP(5.359, 8.866)

Skizze

Comments

x + 1 + (7·x + 6)  wie kommst du darauf ??

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was sind den genau Asymptoten ?

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Auf x + 1 + (7·x + 6)/(x² - x - 6) kommt man durch Polynomdivision. 

(x^3                  ) : (x^2 - x - 6)  =  x + 1   Rest  7x + 6   
x^3  - x^2  - 6x      
—————————————————————       
x^2  + 6x            
x^2  -  x  - 6       
——————————————               
7x  + 6

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Asymptoten sind Kurven (bzw. Geraden) an denen sich die Funktion z.B. an Polstellen oder im Unendlichen beliebig Nahe annähert. Ich zeichne mal die Asymptoten mit ein.

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Woher kommt die Information, dass an der Stelle  (1 + √19 | f(1 + √19))  ein Tiefpunkt vorliegt, ohne die zweite Ableitung an dieser Stelle zu berechnen? Eine Skizze als Beweis scheint mir etwas dürftig zu sein.

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Durch Grenzwertuntersuchungen an der Polstelle 3⁺ und an Grenzwertuntersuchungen für x gegen Unendlich.

Beides mal strebt der Limes gegen unendlich sodass hier also ein Minimum vorliegen muss.

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Woher kommt die Information, dass an der Stelle  (1 + √19 | f(1 + √19))  ein Tiefpunkt vorliegt, ohne die zweite Ableitung an dieser Stelle zu berechnen? Eine Skizze als Beweis scheint mir etwas dürftig zu sein.

@Anonym: Sobald man das Vorzeichenverhalten von gebrochenrationalen Funktionen an Polstellen (abhängig von deren Vielfachheit) und Nullstellen kennengelernt hat, kann man anhand der Skizze problemlos begründen, wo etwa ein Min/Max sein muss.