Bild Kern Basen Abbildung

Question

kann mir jemand beim lösen dieser Aufgabe helfen. Bitte mit ausführlichem Lösungsweg, damit ich die Vorgehensweise verstehe, danke.

Answer 1

Bild(f) = {  \(\begin{pmatrix} 0&a+b\\ a-b&a+2b\end{pmatrix}\) ∈ M₂₂(ℝ) | a,b ∈ ℝ } 

           =  { a * \(\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\end{pmatrix}\) + b * \(\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&2\end{pmatrix}\)  ∈ M₂₂(ℝ) |  a,b ∈ ℝ }

{  \(\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\end{pmatrix}\) ,  \(\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&2\end{pmatrix}\) }   ist eine  Basis von Bild(f) 

Kern(f)  =  { \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) ∈  M₂₂(ℝ) | \(\begin{pmatrix} 0&a+b\\ a-b&a+2b\end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\) }  

= { \(\begin{pmatrix} 0&0\\ c&d\end{pmatrix}\) ∈ M₂₂(ℝ) | c,d ∈ ℝ }  =  { c * \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\)  + d * \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix}\) M₂₂(ℝ) | c,d ∈ ℝ }

Eine  Basis von Kern(f)  ist  { \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) ; \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1\end{pmatrix}\) }

Gruß Wolfgang

Answer 2

wenn

a  b
c  d

im kern von f liegt, dann muss gelten

a+b=0     a-b=0     a+2b  = 0  

also a=b  und

2a=0                   und 3a= 0    also   a=0 und b=0 .

Damit ist

0   0     und   0   0
1   0              0   1  

eine Basis von Kern(f), denn c und d sind ja beliebig.

Dann hat Bild(f) ( wegen des Rangsatzes ) die Dim 2 und

somit  bilden
0     1     und     0       1
1    1                 -1      2


eine Basis von Bild(f) ,