Konvergenz. Uni. Beispielrechnung. Erklärungen

Question

Kann mir jemand erklären wie man z.B. das hier  a ∈ ]√3; ∞[x₀ = ax_n+1 = x_n/2 + 3/2x_n = x_n²+3/2x_n auf Konvergenz hinprüft und den Grenzwert berechnet?Ich habe die Lösung, aber ich verstehe sie leider nicht. Es wäre wirklich nett, wenn mir das jemand schrittweise erklären würde.Vielen Dank schonmal!

Comments

(1)  Zeige, dass $x_{n+1}^2-3\ge0$ gilt.
(2)  Zeige, dass $x_{n+1}-x_n\le0$ ist.
(3)  Berechne den Grenzwert aus $\lim x_n=\lim x_{n+1}$.

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Dann stell doch die Lösung hier rein. Sonst wird sie wohl

keiner erklären können.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Konvergenz

Answer 1

Du hast eine rekursiv definierte Folge. In den meisten Fällen löse ich solche Aufgaben über folgenden Satz:

Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent, genauereine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent odereine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist konvergent dafür brauchst Due diese beiden Abschätzungen:(1)  Zeige, dass $${ x }_{ n }^{ 2 }-3\ge 0$$ gilt. Das macht man mit vollständiger Induktion. Die Folge ist dann nach unten beschränkt.
(2)  Zeige, dass $${ x }_{ n+1 }^{ }-{ x }_{ n }\le 0$$. Du weißt, die x_n sind > 0 und mit (1.) folgt die Behauptung. Die Folge ist dann monoton fallend.Also ist die Folge konvergent.Du nimmst dann an, die Folge konvergiert gegen a. Dann folgt:$$x_{ n+1 }=\frac { x_{ n } }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2x_{ n } } \Rightarrow a=\frac { a }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2a } \Rightarrow a=\sqrt { 3 }$$Bei Fragen einfach melden.Woodoo

Comments

Das macht man mit vollständiger Induktion.
Ich nicht.

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Wie machst Du das?

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$$x_{n+1}^2-3=\left(\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}\right)^{\!2}\ge0.$$