Speicher - Stick - Firma

Question

Ich habe eine Frage zu Mathe :)

Eine Aufgabe von mir ist es, einen Lernplan zu machen. Allerdings komme ich nicht weiter.

Die Aufgabe lautet

Eine Firma stellt einfache Speicher - Sticks her. Die Herstellungskosten betragen 4 Euro pro Stück. Die Firma kalkuliert, dass sie bei einem Verkaufspreis p etwa N (p) = 250.000/p -10.000 Mengeneinheiten verkauft wird. Die Einnahme der Firma ist das Produkt aus dem Verkaufspreis p und der verkauften Menge N (p). Der Gewinn der Firma ist die Differenz aus der Einnahme und den Kosten der Herstellung.

Berechnen Sie, bei welchem Verkaufspreis p der Gewinn der Firma am größten sein wird.

Ich komme mit der Aufgabe leider nicht klar, es wäre nett wenn ich HIlfe bekommen könnte.

MfG

Answer 1

versuche den Text sukzessiv in Formeln zu überführen. Etwa in der Art:

"Die Firma kalkuliert, dass sie bei einem Verkaufspreis p etwa N (p) = 250.000/p -10.000 Mengeneinheiten verkauft wird." Die Formel kannst Du direkt übernehmen $$N(p)=\frac{250.000}{p}-10.000$$ Wichtig dabei ist: der Preis, also das Geld was die Firma für jeden Stick erhält ist $p$ und die Anzahl der verkauften Sticks ist $N(p)$.

"Die Einnahme der Firma ...$$E= ...$$ ... ist das Produkt aus dem Verkaufspreis p ... $$E= p \cdot ...$$ ... und der verkauften Menge N (p)." $$E= p \cdot N(p)$$  "Der Gewinn der Firma ... $$G= ...$$ ... ist die Differenz aus der Einnahme ... $$G=E - ...$$ ... und den Kosten der Herstellung" $$G=E- N(p)\cdot 4$$ da jeder Stick in der Herstellung 4EUR kostet.

Der Gewinn $G$ soll maximiert werden. Dazu setze ich in die Formel für $G$ die bekannten Größen ein $$G=E-N(p) \cdot 4=p \cdot N(p) - N(p) \cdot 4\\=250.000 - 10.000p - 4(\frac{250.000}{p}-10.000)\\=290.000 - 10.000p - \frac{1.000.000}{p}$$ und leite nach $p$ ab $$\frac{\delta G}{\delta p}=-10.000 + \frac{1.000.000}{p^2}$$ Nach Nullsetzen der Gleichung erhält man $$p_{1,2}=\pm10$$ Der negative Wert macht keinen Sinn. Der optimale Verkaufspreis liegt demnach bei $p=$10EUR.

Gruß Werner

Answer 2

G(p) = (250000/p - 10000) * (p - 4)

G(p) = 290000 - 10000·p - 1000000/p

G'(p) = 1000000/p² - 10000 = 0 --> p = 10 €/Stück