Abbildungsmatrix bezüglich zwei Basen bestimmen

Question

folgende Frage:

Seien B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0)} und C = {(1, 0, 0) (0,1,1), (1,0,1)} Basen von IR³.  Bestimmen Sie M^B_C (id)  und M^C_B (id).

Mein Ansatz:

1                      1                     0                                 1

1     =    a*       0       +     b*    1         +       c*           0

0                     0                      1                                 1

GLS lösen und für a, b, c Werte erhalten. Analog dazu das Selbe mit den anderen Vektoren von B machen. Danach alles mit den Vektoren von C durchführen.

Bin ich da auf dem richtigen Weg oder total falsch?

Danke

Comments

(Hab's mir anders ueberlegt.)

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das finde ich aber schade :(

Answer 1

Na ja, die allgemeine Formel geht so: $$M_C^B(f)K_B(v)=K_C(f(v)).$$

In Worten: Aus \(v\) einen Koordinatenvektor bzgl. \(B\) machen und den mit der gesuchten Matrix \(M_C^B(f)\) multiplizieren. Ergebnis soll der Koordinatenvektor von \(f(v)\) bzgl. \(C\) sein.

Um die Matrix zu bekommen schreibt man \(M_C^B(f)=(m_1, \ldots,m_n)\) spaltenweise auf und setzt für \(v\) nacheinander die Elemente der Basis \(B=\{b_1, \ldots,b_n\}\) ein.

Fuer \(v=b_1\) bekommt man \(m_1=K_C(f(b_1))\) wegen \(K_B(b_1)=(1,0,\ldots,0)^T\) und die restlichen Spalten \(m_2,\ldots,m_n\) gehen analog.

Die Anwendung auf die Aufgabe ueberlasse ich Dir. :)