Extremwerte von f(x) = 1/cos(x)

Question

folgende Aufgabe:

$$f(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ cos(x) }$$

a) Nullstellen von f(x)

b) Extremwerte von f(x)

Ich habe erst mal alle Ableitungen erstellt:

$$f'(x)=\frac { sin(x) }{ { cos }^{ 2 }(x) }$$

$$f''(x)=\frac { 1 }{ cos(x) } +\frac { 2sin(x) }{ { cos }^{ 3 }(x) }$$

$$f'''(x)=\frac { sin(x) }{ { cos }^{ 2 }(x) } +\frac { 2 }{ { cos }^{ 5 }(x) } +\frac { 6{ sin }^{ 2 }(x) }{ { cos }^{ 7 }(x) }$$

Meine Lösungen bezüglich a)

$$1 = 0$$

=> Die Funktion hat also keine Nullstellen.

Meine Lösungen bezüglich b)

Es reicht den Zähler zu betrachten da ein Bruch = 0 wird, wenn der Zähler 0 ist.

$$sin(x) = 0$$

Der Sinus hat bekanntlich bei jedem pi eine Nullstelle und somit unendlich Nullstellen.

$$n*pi$$ Nullstellen.

Wie soll ich die Art von Extremwert für unendlich viele Nullstellen bestimmen?

,

Euer Zeurex

Answer 1

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/cos(x)

Scheint zu passen. Du darfst nicht einfach 1=0 schreiben, sondern erst mal eine Rechnung hinschreiben, in der du schrittweise auf den Widerspruch 1=0 kommst.

Wie soll ich die Art von Extremwert für unendlich viele Nullstellen bestimmen?

Unterscheide die beiden Fälle 

n gerade und n ungerade, 

also n=2k und n = 2k+1.

Kontrollmöglichkeit: Das sollte auch wieder zur Zeichnung passen. 

Comments

Okay, aber wie soll ich das jetzt auf dem Papier machen?

n*pi in die 2. Ableitung einsetzen?

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Richtig. 2kπ und (2k+1)π in die 2. Ableitung einsetzen.

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Ok, ich versuchs mal. Wo kommt die 2 jetzt eigentlich her?

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$$f''(2k*\pi )\quad =\quad \frac { 1 }{ cos(2k\pi ) } +\frac { 2sin(2k\pi ) }{ { cos }^{ 3 }(2k\pi ) }$$

Wie soll man das denn ausrechnen? :(

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k sind natürliche Zahlen.

Daher kannst du dir die Werte am Einheitskreis oder an der Kosinuskurve überlegen

cos(2kπ) = 1 und cos((2k+1)π) = -1

Answer 2

f ( x ) = 1 / cos (x )

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist.
Also : keine Nullstelle

f ´ ( x ) = sin ( x ) / [ cos (x ) ]²

sin ( x ) / [ cos (x ) ]² = 0
sin ( x ) = 0

Die Funktion f ( x ) hat an denselben x-Werten
Extremstellen wie sin ( x )