Wurzel 35 ist irrational. Beweis?

Question

Beweisen Sie, dass Wurzel(35) irrational ist. Wir erwarten von Ihnen eine korrekte formale Darstellung des Beweises dieser Wurzel und alle Gedankenschritte begründet.

Answer 1

wäre √35 rational, gäbe es einen gekürzten Bruch p/q mit

p² / q² = 35

also    p²    =   35 * q²   = 5 * 7 * q²    #

weil die rechte Seite offenbar durch 5 teilbar ist,

enthält p² den Primfaktor 5.

Da p² alle Primfaktoren von p enthält , enthält auch p

den Primfaktor 5. 

Damit enthält p² den Primfaktor 5 zweimal.

Also muss auch in der rechten Site von # der Primfaktor 5

zweimal vorkommen.  Da er in der 7 ( die selbst Primzahl ist)

nicht vorkommt, muss er einmal in q²  vorkommen.  Und damit

auch in q; denn q² hat die gleichen Primfaktoren wie q nur jeweils

in doppelter Anzahl.

Also kommt der Primfaktor 5 in q vor und (wie oben gesehen auch in p).

Widerspruch zur Tatsache, dass p/q ein gekürzter Bruch sein sollte.

Answer 2

Indirekter Beweis: Annahme √35=p/q mit natürlichen Zahlen p und q und p/q vollständig gekürzt.

Dann ist 35=p²/q² und p²=35q². Die Quadratzahl p² enthält also die Faktoren 5 und 7. Und weil p² eine Quadratzahl ist, enthält sie die Quadrate von 5 und 7. (p selbst enthält die Faktoren 5 und 7.)

Also hat p² die Darstellung p²=5²·7²·n² für eine natürliche Zahl n. Dann aber gilt

5²·7²·n²=35q² und nach Division durch 35 muss gelten 35n²=q². Also enthält auch q die Faktoren 5 und 7 (Argumentation wie oben).

Dann ist aber p/q nicht vollständig gekürzt, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Damit ist die Annahme falsch und √35 ist keine rationale Zahl.