0 Daumen
520 Aufrufe

Aufgabe:

z.z. \( \sqrt[7]{3} \)+11 ist keine rationale zahl


Problem/Ansatz:

wie gehe ich denn bei diesem schema vor? da kann ich ja nicht das "klassische Vorgehen" von wurzel ∉ℚ nutzen

zumal ich auch hier die 7te Wurzel betrachte.


Kann mir hier jemand für die Lösung und das Lösungsvorgehen helfen?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Angenommen \( \sqrt[7]{3} \) = \( \frac{p}{q} \) vollständig gekürzt.

Dann ist 3=\( \frac{p^{7}}{q^{7}} \) oder 3q7=p7.

Also ist p durch 3 teilbar, d.h.p=3n.

Dann ist 3q7=(3n)7 oder q7=36·n7.

Also ist q durch 3 teilbar, - Widerspruch zu 'vollständig gekürzt'.

\( \sqrt[7]{3} \) ist irrational.

Die Summe aus einer natürlichen und eine irrationalen Zahl ist irrational.

Avatar von 123 k 🚀

Super, vielen lieben Dank für deine Hilfe!

0 Daumen

Zeige: \(\sqrt[7\:]{3}+11\) ist nicht rational.

Beweis: Die Zahl \(\sqrt[7\:]{3}+11=z\) ist Nullstelle der Polynomfunktion \(p(z)=\left(z-11\right)^7-3\), deren Funktionsterm sich zu einem normierten Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten expandieren lässt.

Nach dem Satz über rationale Nullstellen (Lemma von Gauß) müssen in diesem Spezialfall alle rationalen Nullstellen unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes \((-11)^7-3=-19487174\) zu finden sein.

Die kleinen, natürlichen Teiler von 19487174 sind 1, 2, 7 und 14. Wegen \(11 \lt \sqrt[7\:]{3}+11 \lt 14 \) ist die Zahl z nicht unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes und daher ist z nicht rational.

Avatar von 26 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community