Finden Sie alle Lösungen xeR der Gleichung arctan x + arctan x^3 = π/4

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Finden Sie alle Lösungen x∈R der Gleichung


arctan x + arctan x3  = π/4

Danke!

Gefragt 11 Jan von Gast hj2055

2 Antworten

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Hallo,

arctan x + arctan x3  = π/4

Es gelten folgende Beziehungen:

Bei :

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Bild Mathematik

Beantwortet 11 Jan von Grosserloewe Experte XLVI
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Hallo,

$$ arctan(x)+arctan(x^3)=arctan(\frac { x+x^3 }{ 1-x^4 })=\pi/4\\\text{(Bedingung: x^4<1 bzw. -1< x< 1)}\\\to \frac { x+x^3 }{ 1-x^4 }=1 \\\frac { x(1+x^2) }{ (1+x^2)(1-x^2) }=1\\\frac { x }{ (1-x^2) }=1\\x=1-x^2\\x^2+x-1=0\\{ x }_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2 }-\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 }<-1\\\text{daher keine Lösung der Ausgangsgleichung}\\{ x }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 }+\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 }$$

Beantwortet 11 Jan von Gast jc2144 Experte XV

woher kommt denn bei

arctan(x)+arctan(x3)=arctan(x+x31x4)=π/4

das "1-x4"  unter dem Bruchstrich?

Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme_f.C3.BCr_Arkusfunktionen

Die verwendete Regel lautet:

$$ arctan(x)+arctan(y)=arctan(\frac { x+y }{ 1-xy }); \text{wenn }xy<1 $$

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