Lösen linearer Gleichungssysteme Gauss-Algorithmus

Question

ich habe die Funktionen
x+ 2y +6z=9

x+y +4z=5

2x+3y+13z=23

nun schreibe ich ja die erste Gleichung schon mal wieder hin also:

x+2y+6z=9     die zweite Gleichung müsste dann ja so sein:

     -y- 2z= 4    die dritte Gleichung soll nun so aussehen:

      -y+ z= 5   kann mir jemand erklären wie man darauf gekommen ist ? Bitte ausführlich ,danke ! :)

Answer 1

Hi,


Ziel ist es die Variable x in der zweiten und dritten Gleichung zu eliminieren. Dafür wurden folgende Schritte gegangen.


x+ 2y +6z=9       I

x+y +4z=5          II

2x+3y+13z=23 III


II-I und III-2*I

x+2y+6z=9

x-x +y-2y +4z-6z = 5-9   -> -y-2z = -4

2x-2*x + 3y-2*2y + 13z-2*6z = 23-2*9 -> -y+z = 5


Alles klar?

Grüße

Comments

Wenn Du selbst weitermachen willst, zur Kontrolle:

x=-5, y=-2 und z=3

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aber ich verstehe jetzt nicht wieso  da -y  und 5 zum schluss rauskommt

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In der letzten Zeile?

Du subtrahierst doch die Gleichung III von der Gleichung I, wobei diese zuvor mit 2 multipliziert wurde.

Da siehst Du doch 3y-2*2y=3y-4y=-y

Das gilt auch für die 5 -> 23-2*9=23-18=5


Einverstanden?

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ah jetzt habe ich es verstanden :)

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Gut gut :)      .

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aber eine Frage habe ich noch ,woher weiß ich das ich  III -2*1 rechnen muss und nicht  2*1-III ,wenn ich das letztere nehme kommt da nämlich nicht das richtige Ergebnis raus

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Das macht keinen Unterschied. Es ist Dir überlassen wie rum Du rechnest.

Mit III-2*I

erhalten wir das obige:

2x-2*x + 3y-2*2y + 13z-2*6z = 23-2*9 -> -y+z = 5

 

Drehen wir den Schuh um:

2*I-III

2*x-2x + 2*2y-3y + 2*6z-13z = 2*9-23 -> y-z = -5

 

Wir haben also einmal:

-y+z=5

und einmal

y-z=-5

 

Wenn wir unten aber nun mit -1 multiplizieren haben wir:

y-z=-5      |*(-1)

-y+z=5

 

Alles klar? :)

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entschuldigung das ich nochmal nachfrage,aber was meinst du mit "unten " ?

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Den zweiten Vorschlag. Also 2*I-III.

Wenn wir dieses Ergebnis mit -1 multiplizieren, ist das genau dasselbe, wie wenn wir den in meiner Antwort vorgeschlagenen Weg gehen.

Es ist also egal, ob Du 2*I-III rechnest, oder III-2*I.

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also kann ich zum weiterrechnen auch erstmal mein Ergebnis benutzen,ohne * -1 zu rechnen ?

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Yup, nutze die Variante die Dir zum weiterrechnen besser erscheint ;).

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wie kann ich jetzt das -y ,bei der errechneten Funktion also -y +z=5 eliminieren ? Also  angenommen ich rechne jetzt mit meiner Variante weiter ? :)

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Wir sind also hier:

x+2y+6z=9       (I)

-y-2z = -4         (IV)

-y+z = 5             (V)

 

Einverstanden? Das ist meine allererste Antwort.

Nun lassen wir Gleichung (I) wie sie ist. Aber wir machen (V)-(IV)

x+2y+6z=9       (I)

-y-2z= -4         (IV)

-y-(-y)+z-(-2z) = 5-(-4)  -> 3z=9   -> z=3

 

Du kannst folgen? Damit haben wir die erste Lösung -> z=3

Das können wir nun in Gleichung (IV) einsetzen und erhalten direkt y=-2.

Dann damit in Gleichung (I) und wir erhalten x=-5.

 

Alles klar? :)

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ja soweit alles klar ,nur woher weiß ich eigentlich am Anfang,wann ich II-I  und III-2 *I nehme und nicht zum Beispiel I-II und III-2*II ? wie entscheide ich das was ich nehme ? und wann genau rechne ich *-1 ,wenn ich meine Rechenvariante nehme,weil das irgendwie nicht funktioniert ,wenn ich so weiterrechne

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Wie man rechnet kommt mit der  Zeit und der Übung. Ziel ist es allerdings immer eine Variable zu eliminieren. Es macht also keinen Sinn II-5*I zu rechnen, weil sich dadurch keine Variable eliminiert.
Das ist nur für II-I bzw. I-II der Fall (die Reihenfolge ist egal).

 

und wann genau rechne ich *(-1)

Ich bin zum Beispiel kein Freund von negativen Zahlen, deshalb multipliziere ich mit -1, wenn es mir zu viele negative Zahlen in einer Gleichung gibt. Das kann man machen, muss aber nicht. Wenn man das richtig macht, soltle das die Rechnung nicht negativ beeinflussen! Es sollte also funktionieren...

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gut,alles klar und würde es ein Unterschied machen wenn ich III-2* II machen würde ,anstatt III-2*I ,weil die 2x sich ja dann auch eliminieren würde ?

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Einen Unterschied im Rechenvorgang würde es schon machen, aber Du hast es ist richtig verstanden. Du kannst auch diesen Weg wählen ;).