Geringster Abstand Hyperbel und Punkt mit Lagrange Methode

Question

"Bestimmen Sie mit der Lagrange Methode, diejenigen Punkte der Hyperbel x^2-y^2=1 mit dem kleinsten Abstand zum Punkt = (0;1)"

Mein Ansatz:

f(x,y) = x^2 + (y-1)^2

R(x) =x^2-y^2-1

L(x,y,z,λ) = x^2+(y-1)^2+λ(x^2-y^2-1)

Lx = 2x+λ

Ly = 2y-2+λ

Lz = λ

Lλ = x^2-y^2-1

Leider fehlt mir ein Ansatz für Lösung des Gleichungssystem. Mein Problem ist die quadratische Gleichung, weshalb ich nicht den Gauß Algorithmus verwenden kann.

Über Ratschläge wäre ich dankbar.

Comments

Habe das Gleichungssystem mittlerweile selber händisch gelöst, hier die Lösung, falls es jemanden weiterhilft:

L(x,y,λ) = x²+(y-1)^2-λ(x²-y²-1)

1. Lx = 2x-2xλ

2. Ly = 2y-2-2yλ

3. Lλ = x²-y²-1

Gleichung 1:

- x ausklammern

0 = x * (2-2λ)

- Satz vom Nullprodukt

x = 0 oder 2-2λ = 0 -> λ = 1

Gleichtung 2:

- +2, y ausklammern

2 = y * (2+2λ)

- durch (2+2λ) teilen

2/(2+2λ) = y

- λ = 1 einsetzen

2/4 = 1/2 = y

Gleichung 3:

- y in 3 einsetzen

x^2-(1/2)^2 -1 = 0

x^2 = 5/4 | Wurzel ziehen

x = +-√(5)/2

x in Gleichung 3 einsetzen ergibt +-1/2 = y

Daraus ergeben sich die Punkte:

P1 ( √5/2 | -1/2)

P2 ( -√5/2 | 1/2)

Lösung mit Wolframalpha kontrollierbar:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Minimize%5B%7B(x+-+0)%5E2+%2B+(y+-+1)%5E2,+x%5E2+-+y%5E2+%3D%3D+1%7D,+%7Bx,+y%7D%5D

Answer 1

Alternativer Weg ohne Lagrange (falls nicht vorgeschrieben):

Text erkannt:

\( y=\sqrt{x^{2}-1} \)
\( y_{T} \cdot=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} \)
orthogonale Steigung ist \( y_{o}=-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \)
\( P(0 \mid 1) \)
\( \frac{y-1}{x}=-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \)
\( y=-\sqrt{x^{2}-1}+1 \)
\( \sqrt{x^{2}-1}=-\sqrt{x^{2}-1}+\left.1\right|^{2} \)
\( x^{2}-1=x^{2}-1-2 \cdot \sqrt{x^{2}-1}+1 \)
\( 2 \cdot \sqrt{x^{2}-1}=1 \)
\( \sqrt{x^{2}-1}=\left.\frac{1}{2}\right|^{2} \)
\( x^{2}-1=\frac{1}{4} \)
\( x_{1}=\frac{1}{2} \sqrt{5} \approx 1,12 \rightarrow y_{1}=\sqrt{\frac{5}{4}-1}=\frac{1}{2} \)
\( x_{2}=-\frac{1}{2} \sqrt{5} \approx-1,12 \rightarrow y_{2}=\sqrt{\frac{5}{4}-1}=\frac{1}{2} \)
mfG
Moliets