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Bitte helft mir bei dieser Aufgabe. Habe gerade gar keinen Plan

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 Thema

Tangenten, Normale und Winkel Differentialrechnng

Lösung wäre

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Hallo MisterM,

Setze die Gleichung für die Gerade in die für den Kreis ein. man erhält

$$(x-7)^2 + (-\frac{1}{8}x + \frac{3}{2} +1)=13$$

gibt eine quadratische Gleichung

$$x^2 -14x + 49 +\frac{1}{64} x^2 - \frac{5}{8}x + \frac{25}{4}=13$$

$$\frac{65}{64}x^2-\frac{117}{8}x+\frac{169}{4}=0$$

Die Lösungen sind \(x_1=4\) und \(x_2=\frac{52}{5}\). Da es heißt: "Lichtstrahl folgt der Geraden" unterstelle ich, das der Lichtstrahl in positive X-Richtung verläuft. Demnach liegt der Punkt der Reflexion beim kleineren Wert \(x=4\).

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Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Punkt \(P\) der Reflexion \(P=(4,1)\).

Um die reflektierte Gerade zu berechnen, schwenke ich zur Vektorrechnung um. Da der Punkt \(P\) bekannt ist und \(M\) aus der Kreisgleichung folgt \(M=(7;-1)\), kann man die Reflexionsachse (rot) direkt in der Hesseschen Normalform ablesen

$$\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{x}= \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot P= \frac{11}{\sqrt{13}}$$ Nun wähle ich eine Punkt auf der Geraden, der nicht \(P\) ist, - z.B. \(X=(0;3/2)\) und spiegele ihn an der Reflexionsachse. Der Abstand \(e\) von der Reflexionsachse ist

$$e = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot X -  \frac{11}{\sqrt{13}} = \frac{-13}{2 \sqrt{13}}$$

Um von \(X\) nach \(Y\) zu kommen muss man von \(X\) den Normalenvektor zweimal mit der Länge \(e\) abziehen

$$Y=X - 2e \cdot \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}= X + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ \frac{9}{2} \end{pmatrix}$$

Der reflektierte Lichtstrahl verläuft durch \(P=(4;1)\) und \(Y=(2;9/2)\) und hat somit die Funktionsgleichung

$$y=\frac{-4}{7}x+8$$

Gruß Werner

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Lösung:

(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 13

(x - 7)^2 + (-1/8·x + 3/2 + 1)^2 = 13

(x - 7)^2 + (5/2 - x/8)^2 = 13

x^2 - 14·x + 49 + x^2/64 - 5·x/8 + 25/4 = 13

65·x^2/64 - 117·x/8 + 169/4 = 0 --> x = 10.4 ∨ x = 4

Ich nehme hier mal die Stelle x. Theoretisch würde aber auch x = 10.4 gehen. Das kommt ja darauf an, woher der Strahl kommt.

g(4) = -1/8·4 + 3/2 = 1

Der Punkt an dem der Strahl reflektiert wird ist also der Punkt P(4 | 1).

Steigung der Normalen an die Kugel im Punkt P

m = (1 - (-1)) / (4 - 7) = -2/3

Spiegelung der Steigung an der Normalen:

[COS(2·ATAN(-2/3)), SIN(2·ATAN(-2/3)); SIN(2·ATAN(-2/3)), - COS(2·ATAN(-2/3))]·[8; -1] = [4; -7]

Damit lautet die Gleichung des Reflektierten Strahls

y = -7/4·(x - 4) + 1 = 8 - 7/4·x

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