Symmetrie, Nullstelle, Extremstelle

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1/4x ⁴ - 2x²+4 für x ∈ℝ

a) Untersuche die Funktion f auf Symmetrie.

b) Zeichne das Schaubild der Funktion f.

c) Bestimme rechnerisch exakt die Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkt von f.

d) vom Punkt P (-1/8,25) ausgehend werden Tangenten an das Schaubild der Funktion f gelegt. Bestimme die exakte Gleichung einer dieser Tangenten.

Answer 1

Funktion & Ableitungen

f(x) = 1/4·x⁴ - 2·x² + 4

f'(x) = x³ - 4·x

f(x) = 3·x² - 4

Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse, da x nur in geraden Potenzen auftritt.

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 4

Nullstellen f(x) = 0

1/4·x⁴ - 2·x² + 4 = 0

1/4·z² - 2·z + 4 = 0

z² - 8·z + 16 = 0

(z - 4)² = 0

z = 4 (Doppelte Nullstellen)

x = -2 ∨ x = 2 (beides Doppelte Nullstellen und daher beides Tiefpunkte)

Extrempunkte f'(x) = 0

x³ - 4·x = x·(x² - 4) = 0

x = 0 ∨ x = ±2

f(0) = 4 --> HP(0 | 4)

f(±2) = 0 --> TP(±2 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0

3·x² - 4 = 0

3·x² = 4

x² = 4/3

x = ±√(4/3) = ±1.155

f(±√(4/3)) = 16/9 = 1.778 --> WP(±1.155 | 1.778)

Comments

Bei den Extremstellen  sollte man wohl noch x = 0  und den dortigen Hochpunkt H(0|4) erwähnen.

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Ja da hast du natürlich völlig recht. Vielen dank. Ich verbessere das.

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Und dann wollte ich noch die Zusatzaufgabe anfügen

Vom Punkt P(-1 | 8.25) ausgehend werden Tangenten an das Schaubild der Funktion f gelegt. Bestimme die exakte Gleichung einer dieser Tangenten.

f(x) = f'(x) * (x - Tx) + Ty

1/4·x⁴ - 2·x² + 4 = (x³ - 4·x) * (x - (-1)) + (8.25)

1/4·x⁴ - 2·x² + 4 = x⁴ + x³ - 4·x² - 4·x + 33/4

3/4·x⁴ + x³ - 2·x² - 4·x + 17/4 = 0

3·x⁴ + 4·x³ - 8·x² - 16·x + 17 = 0

x = 1 und x = 1.296

t(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = -3·(x - 1) + 9/4 = 5.25 - 3·x