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Hallo Community, 

das ist wahrscheinlich total leicht aber ich weiß nicht, wie ich das folgende System im Körper (Z13,+,*) berechnen kann. Wisst ihr da einen Ansatz?

6x + 3y = 33

2x + 10y = 12

Wir sollen hier nur eine Lösung angeben, die aber mit Rechenweg.

Ich hoffe auf eure Hilfe!

von

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MathFox,

zunächst einmal kannst Du die beiden Gleichungen vereinfachen. Dazu musst Du lediglich die erste Gleichung durch 3 und die zweite durch 2 teilen. Alternativ kannst Du bereits modulo rechnen.

$$6x+3y=33 \Longleftrightarrow 2x+y=11$$

$$2x+10y=12 \Longleftrightarrow x+5y=6$$

Nun hast Du verschiedene Handlungsoptionen. Es bietet sich z.B. an, x zu eliminieren, indem Du das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten abziehst. Dadurch erhältst Du:

$$-9y =-1$$

Diese Gleichung kannst Du bezüglich des Moduls 13 wie folgt vereinfachen:

$$4y = 12\text{, denn }-9\equiv 4\mod 13\wedge-1\equiv 12\mod {13}$$

Mit beidseitiger Division durch 4 folgt:

$$y=3$$

Mit diesem Eregbnis lässt sich x nun sehr leicht durch Einsetzen berechnen:

$$2x+10\cdot 3 = 12$$

$$\Longleftrightarrow 2x = -18$$

$$\Longleftrightarrow x = -9\equiv 4\mod 13$$

Eine Lösung Deiner Gleichung lautet also:

$$x=4\wedge y =3$$

Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte. 

André, savest8

von

Hey Dass das so leicht geht hätte ich echt nicht gedacht.

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