Aufgabe Winkel zwischen zweier Funktionen bestimmen Differentialrechnung

Question

Aufgabe

Verstehe die Aufgabe d nicht

Als Lösung kommen die Winkel 18.43 und 71.57 heraus

Answer 1

Der Winkel zwischen den Funktionsgraphen ist immer der

Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt.

Also bei  d) 

sin(x) = sin(2x)

<==>   sin(x) = 2 sin(x) cos(x)


<==>   0   = 2 sin(x) cos(x)  - sin(x) 

<==>   0   = (  2 cos(x)  -  1 ) *  sin(x)

 in [ 0 ; pi/2 ] ist das bei x = 0 und bei x= pi/3

der Fall.

bei x=0 sind die Steigungen

cos(0) = 1 und  2*cos(0) = 2

also der Winkel dazwischen

arctan(2) - arctan(1) = 63,4° - 45° = 18,4°

und bei pi/3 entsprechend.

Answer 2

zu b) Schnittpunkte von f(x)=cos(x) und g(x)=sin(2x)=2sin(x)·cos(x) (Formelsammling)

f(x)=g(x) heißt: cos(x)=2sin(x)·cos(x) oder 0=2sin(x)·cos(x)-cos(x) oder 0=cos(x)·(2sin(x) - 1) und dann cos(x)=0 (x=π/2) oder 2sin(x) - 1=0 gleichbedeutend mit sin(x)=1/2 (x=π/6).

Ableitungen: f '(x)=-sin(x); g'(x)=2cos(x). Ableitungen an der Stelle x=π/2: f '(π/2)=-sin(π/2)=1; g'(π/2)=2cos(π/2)=0. Der Winkel zwischen den Steigungen 1 und 0 ist 45° oder π/4.

Ableitungen an der Stelle x=π/6: f '(π/6)=-sin(π/6)=1/2; g'(π/6)=2cos(π/6)=√3. Der Winkel zwischen den Steigungen 1/2 und √3 ist arctan(1/2) - arctan(√3)≈-33,435°