Induktion bei Ungleichungen?

Question

 

könnt ihr mir sagen wie man diese Ungleichung mittels vollständige Induktion löst?

Answer 1

Zeige: ∑ (k = 1 bis 2ⁿ) 1/k ≥ 1 + n/2

Induktionsanfang: n = 0

∑ (k = 1 bis 2⁰) 1/k ≥ 1 + 0/2

1 ≥ 1 + 0/2

stimmt.

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis 2^{n + 1}) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2

∑ (k = 1 bis 2·2ⁿ) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2

∑ (k = 1 bis 2ⁿ) 1/k + ∑ (k = 2ⁿ + 1 bis 2·2ⁿ) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2

1 + n/2 + ∑ (k = 2ⁿ + 1 bis 2·2ⁿ) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2

∑ (k = 2ⁿ + 1 bis 2·2ⁿ) 1/k

Anzahl Summanden: 2·2ⁿ - (2ⁿ + 1) + 1 = 2ⁿ

Abschätzung der Summanden nach unten: 1/(2·2ⁿ)

1 + n/2 + 2ⁿ·1/(2·2ⁿ) ≥ 1 + (n + 1)/2

1 + n/2 + 1/2 ≥ 1 + n/2 + 1/2

stimmt.